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LAUREA TRIENNALE (D.M. 270/04) => Elementi di Analisi Matematica, 12 CFU => Topic started by: thedog on 29-01-2011, 16:58:16



Title: help serie (messa soluzione GIUSTA)
Post by: thedog on 29-01-2011, 16:58:16
salve colleghi volevo chiedere il vostro aiuto per questa serie... ho provato a svolgerla cn il criterio del rapporto e con altri ma arrivo a un punto morto.. la serie è

 \frac{2^{n!}}{n^{2n}}



Title: Re:help serie
Post by: Daréios89 on 29-01-2011, 17:07:40
salve colleghi volevo chiedere il vostro aiuto per questa serie... ho provato a svolgerla cn il criterio del rapporto e con altri ma arrivo a un punto morto.. la serie è

 \frac{2^{n!}}{n^{2n}}



Hai provato a verificare la condizione necessaria alla convergenza?

EDIT: Mi sa che non ci aiuta tanto....


Title: Re:help serie
Post by: thedog on 29-01-2011, 17:11:10
salve colleghi volevo chiedere il vostro aiuto per questa serie... ho provato a svolgerla cn il criterio del rapporto e con altri ma arrivo a un punto morto.. la serie è

 \frac{2^{n!}}{n^{2n}}



Hai provato a verificare la condizione necessaria alla convergenza?
mmm sinceramente no ma ne nn sbaglio il limite di \frac{2^{n!}}{n^{2n}} =0 o erro quindi la soddisfa..


Title: Re:help serie
Post by: Daréios89 on 29-01-2011, 17:15:12
Si infatti....avevo editato che non ci aiuta  .rido

Potresti provare a riportare i tuoi calcoli con il criterio del rapporto?
Io al momento sto facendo altro, più tardi conto di provarci..


Title: Re:help serie
Post by: thedog on 29-01-2011, 17:44:23
Si infatti....avevo editato che non ci aiuta  .rido

Potresti provare a riportare i tuoi calcoli con il criterio del rapporto?
Io al momento sto facendo altro, più tardi conto di provarci..
Si infatti....avevo editato che non ci aiuta  .rido

Potresti provare a riportare i tuoi calcoli con il criterio del rapporto?
Io al momento sto facendo altro, più tardi conto di provarci..

ecco il mio ragionamento contorto è questo:
lim_{n->inf} \frac{2^{(n+1)!}}{(n+1)^{2(n+1)}}\frac{n^{2n}}{2^{n!}} da qui faccio:

lim_{n->inf} \frac{2^{(n+1)!}}{2^{n!}}\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2(n+1)}} da questa se nn ho fatto papere :

lim_{n->inf}\frac{1}{2^{n!-(n+1)!}}\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n}}\frac{1}{(n+1)^{2}}


lim_{n->inf} \frac{1}{(n+1)^{2}} =0:

lim_{n->inf}\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n}}= lim_{n->inf} {(1-\frac{1}{n+1})^{2n}} dobrebbe essere=1

il dubbio e in:

lim_{n->inf}\frac{1}{2^{n!-(n+1)!}} che mi verebbe di dire =0 essendo 1 su un infinitestima =0 ma nn ne sono sicuro se =0 allora il tutto fa 0 e quindi convergenza, però svolgendo il limite su wolframalpha da infinito e se cs fosse capito in forma indeterminata.... -.-'





Title: Re:help serie
Post by: Jad1 on 29-01-2011, 18:41:41
Ragazzi il problema secondo me è alla radice  .penso questa è una serie simile se non identica a quella della prova in itinere del 17 gennaio Compito B se non erro..secondo me la condizione necessaria di convergenza non si arriva a verificare poichè il limite della successione tende a infinito...Adesso siccome sappiamo che la serie è a termini positivi abbiamo 2 possibili vie

1 la serie converge (non è il nostro caso)
2 la serie diverge positivamente

In conclusione la serie divergerà positivamente  :yoh


Title: Re:help serie
Post by: Daréios89 on 29-01-2011, 18:55:12
Ragazzi il problema secondo me è alla radice  .penso questa è una serie simile se non identica a quella della prova in itinere del 17 gennaio Compito B se non erro..secondo me la condizione necessaria di convergenza non si arriva a verificare poichè il limite della successione tende a infinito...Adesso siccome sappiamo che la serie è a termini positivi abbiamo 2 possibili vie

1 la serie converge (non è il nostro caso)
2 la serie diverge positivamente

In conclusione la serie divergerà positivamente  :yoh

Ha ragione lui  .rido
Come avevo sospettato, se ci si fa i calcoli si dovrebbe verificare che la condizione necessaria non è verificata.


Title: Re:help serie
Post by: StephCT on 29-01-2011, 18:58:45
e già infatti è proprio simile alla prima serie del compito B. se svolgi la condizione necessaria devi studiare il semplice limite della successione che caratterizza la serie. per risolverlo puoi utilizzare il criterio del rapporto per le successioni e arrivi alla conclusione che il limite nn fa 0, quindi la serie diverge perchè se studi il segno è a termini positivi, quindi per il teorema delle serie a termini non negativi, esse sono regolari, quindi siccome non convergono, allora diverge positivamente, esattamente come la nostra presa in esame


Title: Re:help serie
Post by: thedog on 29-01-2011, 19:00:54
Ragazzi il problema secondo me è alla radice  .penso questa è una serie simile se non identica a quella della prova in itinere del 17 gennaio Compito B se non erro..secondo me la condizione necessaria di convergenza non si arriva a verificare poichè il limite della successione tende a infinito...Adesso siccome sappiamo che la serie è a termini positivi abbiamo 2 possibili vie

1 la serie converge (non è il nostro caso)
2 la serie diverge positivamente

In conclusione la serie divergerà positivamente  :yoh

questa è quella della prova del compito A :) scusa la domanda ma perchè farebbe infinito il limite della serie???


Title: Re:help serie
Post by: thedog on 30-01-2011, 12:01:10
anche perchè  {2^{n!}} non è di grado inferiore di  {n^{2n}}non sarebbe come  \frac{2^{n}}{n^{n}}? o sbaglio?




Title: Re:help serie
Post by: thedog on 31-01-2011, 20:55:56
up


Title: Re:help serie
Post by: StephCT on 31-01-2011, 21:01:56
e già infatti è proprio simile alla prima serie del compito B. se svolgi la condizione necessaria devi studiare il semplice limite della successione che caratterizza la serie. per risolverlo puoi utilizzare il criterio del rapporto per le successioni e arrivi alla conclusione che il limite nn fa 0, quindi la serie diverge perchè se studi il segno è a termini positivi, quindi per il teorema delle serie a termini non negativi, esse sono regolari, quindi siccome non convergono, allora diverge positivamente, esattamente come la nostra presa in esame

mi riquoto xkè l'avevo scritto come si faceva. se qualcuno si è portato il compito a casa potrebbe confermare xkè io mi ricordo ke è proprio questa. e l'ho risolta proprio come ho descritto qui sopra
p.s. io l'ho scritto l'ho passato, se questo es. è sbagliato allora mi ha salvato tutto il resto |-O


Title: Re:help serie
Post by: thedog on 31-01-2011, 22:36:25
e già infatti è proprio simile alla prima serie del compito B. se svolgi la condizione necessaria devi studiare il semplice limite della successione che caratterizza la serie. per risolverlo puoi utilizzare il criterio del rapporto per le successioni e arrivi alla conclusione che il limite nn fa 0, quindi la serie diverge perchè se studi il segno è a termini positivi, quindi per il teorema delle serie a termini non negativi, esse sono regolari, quindi siccome non convergono, allora diverge positivamente, esattamente come la nostra presa in esame

mi riquoto xkè l'avevo scritto come si faceva. se qualcuno si è portato il compito a casa potrebbe confermare xkè io mi ricordo ke è proprio questa. e l'ho risolta proprio come ho descritto qui sopra
p.s. io l'ho scritto l'ho passato, se questo es. è sbagliato allora mi ha salvato tutto il resto |-O
scusa e io ti riquoto perchè se vedi io il criterio l'ho applicato e arrivo a quella concluzione...dove ho sbagliato?? potresti gentilmente spiegermelo ?


Title: Re:help serie
Post by: Jad1 on 01-02-2011, 00:32:43
Allora secondo i miei calcoli dovrebbe risultare +infinito riporto di seguito i calcoli :

lim_{n->inf} \frac{2^{(n+1)!}}{(n+1)^{(2n+2)}} \frac{n^{(2n)}}{2^{(n!)}}

lim_{n->inf} \frac{2^{(n+1)}2^{(n!)}}{(n+1)^{2n}(n+1)^{2}}\frac{n^{(2n)}}{(2)^{(n!)}}

lim_{n->inf}\frac{n^{(2n)}}{(n+1)^{2n}}\frac{2^{(n+1)}}{(n+1)^{2}}

Ovvero avremo :

lim_{n->inf}\frac{n^{(2n)}}{(n+1)^{2n}}= e^{(-2)}

e poi

lim_{n->inf}\frac{2^{(n+1)}}{(n+1)^{2}}= +∞

(poichè al numeratore abbiamo un infinito d'ordine maggiore rispetto al denominatore)

In conclusione il limite del prodotto di due successioni è uguale al prodotto del limite delle due successioni e il prodotto tra l ∈ R e +∞ = +∞

 :yoh


Title: Re:help serie
Post by: StephCT on 01-02-2011, 00:50:51
Allora secondo i miei calcoli dovrebbe risultare +infinito riporto di seguito i calcoli :

lim_{n->inf} \frac{2^{(n+1)!}}{(n+1)^{(2n+2)}} \frac{n^{(2n)}}{2^{(n!)}}

lim_{n->inf} \frac{2^{(n+1)}2^{(n!)}}{(n+1)^{2n}(n+1)^{2}}\frac{n^{(2n)}}{(2)^{(n!)}}

lim_{n->inf}\frac{n^{(2n)}}{(n+1)^{2n}}\frac{2^{(n+1)}}{(n+1)^{2}}

Ovvero avremo :

lim_{n->inf}\frac{n^{(2n)}}{(n+1)^{2n}}= e^{(-2)}

e poi

lim_{n->inf}\frac{2^{(n+1)}}{(n+1)^{2}}= +∞

(poichè al numeratore abbiamo un infinito d'ordine maggiore rispetto al denominatore)

In conclusione il limite del prodotto di due successioni è uguale al prodotto del limite delle due successioni e il prodotto tra l ∈ R e +∞ = +∞

 :yoh


guarda qui l'ha fatti lui i calcoli  .arrossisco


Title: Re:help serie
Post by: thedog on 01-02-2011, 11:50:18
Allora secondo i miei calcoli dovrebbe risultare +infinito riporto di seguito i calcoli :

lim_{n->inf} \frac{2^{(n+1)!}}{(n+1)^{(2n+2)}} \frac{n^{(2n)}}{2^{(n!)}}

lim_{n->inf} \frac{2^{(n+1)}2^{(n!)}}{(n+1)^{2n}(n+1)^{2}}\frac{n^{(2n)}}{(2)^{(n!)}}

lim_{n->inf}\frac{n^{(2n)}}{(n+1)^{2n}}\frac{2^{(n+1)}}{(n+1)^{2}}

Ovvero avremo :

lim_{n->inf}\frac{n^{(2n)}}{(n+1)^{2n}}= e^{(-2)}

e poi

lim_{n->inf}\frac{2^{(n+1)}}{(n+1)^{2}}= +∞

(poichè al numeratore abbiamo un infinito d'ordine maggiore rispetto al denominatore)

In conclusione il limite del prodotto di due successioni è uguale al prodotto del limite delle due successioni e il prodotto tra l ∈ R e +∞ = +∞

 :yoh


Scusa c'è qualcosa che nn mi convince qui
lim_{n->inf} \frac{2^{(n+1)}2^{(n!)}}{(n+1)^{2n}(n+1)^{2}}\frac{n^{(2n)}}{(2)^{(n!)}}
se nn ricordo male quando le basi sono uguali gli esponenti si sommano (n+1)=n+1)*n! e non (n+1)+n! o mi sbaglio?? quindi quella divisione non è sbagliata?


Title: Re:help serie
Post by: Jad1 on 01-02-2011, 13:28:51
Non ho il tempo per scrivere perkè sono in viaggio cmq guarda qui..magari te ne convinci  :-OK

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2^((n%2B1)!)+%3D+2^(n%2B1)*2^n!


Title: Re:help serie
Post by: thedog on 01-02-2011, 14:29:59
Non ho il tempo per scrivere perkè sono in viaggio cmq guarda qui..magari te ne convinci  :-OK

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2^((n%2B1)!)+%3D+2^(n%2B1)*2^n!

scusa mi avevi fatto venir qualche dubbio andando a vedere vecchi esercizi e un (n+1)! la prof me l'ha scomposto in (n+1)*n! infatti se guardi qui:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5E%28%28n%2B1%29%21%29+%3D+%282%5E%28n%2B1%29%29%5En%21

esattamente la curva hanno gli stessi valori mentre quello che mi hai postato se fai caso hanno valori differenti...
cmq domani cercherò di levarmi sto dubbio cn a prof e casomai posto la soluzione....


Title: Re:help serie
Post by: thedog on 02-02-2011, 23:37:48
allora ragazzi dopo aver parlato cn la prof il risultato è il seguente la soluzione di tale serie era simile a quella che avevo effettuato il solo che avevo non mi ero messo in modo semplice la serie allora cm avevo fatto io applichiamo il criterio del rapporto alla serie


e viene:

lim_{n->inf} \frac{2^{(n+1)!}}{(n+1)^{2(n+1)}}\frac{n^{2n}}{2^{n!}} da qui faccio:

lim_{n->inf} \frac{2^{(n+1)!}}{2^{n!}}\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2(n+1)}} da qui scompongo portando

2^{n!} al nominatore e viene:

lim_{n->inf}{2^{(n+1)!-n!}}\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n}}\frac{1}{(n+1)^{2}}

quindi:

lim_{n->inf}\frac{2^{(n+1)!-n!}}{(n+1)^{2}}\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n}}

che è uguale a :

lim_{n->inf}\frac{2^{(n!)(n+1-1)}}{(n+1)^{2}}\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n}}

lim_{n->inf}\frac{2^{(n!)(n+1-1)}}{(n+1)^{2}} = lim_{n->inf}\frac{2^{(n!)(n)}}{(n+1)^{2}} >=  lim_{n->inf}\frac{2^n}{(n)^{2}} il quale limite = infinito essendo il numeratore di grado superiore del denominatore,

lim_{n->inf}\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n}}= \frac{1}{e^2}
quinid infinito per costante = infinito la serie diverge


Title: Re:help serie (messa soluzione GIUSTA)
Post by: Jad1 on 03-02-2011, 12:09:34
Esattamente come l'avevo fatto io..ergo post inutile.. :yoh


Title: Re:help serie
Post by: thedog on 03-02-2011, 15:21:50
be non proprio non per contraddirti ma tu hai scritto:

lim_{n->inf} \frac{2^{(n+1)!}}{(n+1)^{(2n+2)}} \frac{n^{(2n)}}{2^{(n!)}}

lim_{n->inf} \frac{2^{(n+1)}2^{(n!)}}{(n+1)^{2n}(n+1)^{2}}\frac{n^{(2n)}}{(2)^{(n!)}}  qui tu hai smenbrato il 2^{(n+1)!} in  2^{(n+1)}2^{n!} cosa errata come ti avevo fatto presente prima e confermato dalla prof, poi hai svolto e ti è risultato ma il tutto era errato anche perche quella dell'altro compito la prof forse ha detto che risultava 0 essendo l'opposta...

mentre per cm ho fatto io se noti nn l'ho scomposto ma fatto diverso:


lim_{n->inf} \frac{2^{(n+1)!}}{(n+1)^{2(n+1)}}\frac{n^{2n}}{2^{n!}} da qui faccio:

lim_{n->inf} \frac{2^{(n+1)!}}{2^{n!}}\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2(n+1)}} da qui scompongo portando

2^{n!} al nominatore  ( E NON SCOMPONENDO (n+1)! ) e viene:

lim_{n->inf}{2^{(n+1)!-n!}}\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n}}\frac{1}{(n+1)^{2}}

quindi:

lim_{n->inf}\frac{2^{(n+1)!-n!}}{(n+1)^{2}}\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n}}

che è uguale a :

lim_{n->inf}\frac{2^{(n!)(n+1-1)}}{(n+1)^{2}}\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n}}

lim_{n->inf}\frac{2^{(n!)(n+1-1)}}{(n+1)^{2}} = lim_{n->inf}\frac{2^{(n!)(n)}}{(n+1)^{2}} >=  lim_{n->inf}\frac{2^n}{(n)^{2}} il quale limite = infinito essendo il numeratore di grado superiore del denominatore,

lim_{n->inf}\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n}}= \frac{1}{e^2}
quinid infinito per costante = infinito la serie diverge


ERGO CM AVEVI POSTATO TU ERA SBAGLIATO E FORSE ANCHE IL TUO ESERCIZIO ERA SBAGLIATO Pardon...