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LAUREA TRIENNALE (D.M. 270/04) => Formazione Numerica, 6 CFU => Topic started by: turì on 06-09-2011, 16:25:19



Title: soluzione esami di formazione numerica
Post by: turì on 06-09-2011, 16:25:19
come da titolo vi chiedo se potreste postare le soluzioni degli esami più recenti di quest'anno, in particolare agli esami del 7/02 e del 21/02 per la sessione invernale e quello del 21/06 per la sessione estiva.

grazie


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: andreacannella on 07-09-2011, 00:53:58
Mi devi dare il tempo di cercare tra i vari appunti. Comunque Matlab ti potrebbe essere d'aiuto, a parte le verifiche "per sostituzione" per verificare i valori ottenuti.

Le funzioni matlab che potrebbero aiutarti sono:

[L,U]=lu(A) --> calcola la fattorizzazione lu di A e la salva in L e U;

chol(A) --> calcola la fattorizzazione di Cholesky della matrice A e la visualizza a video


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: turì on 08-09-2011, 13:45:21
ad esempio il primo esercizio del 7 febbraio 2011 mi dice di trovare la fattorizzazione LU della matrice del sistema

\left\{\begin{matrix}<br />x+ &  & z=-3\\ <br />2x & y- & z=-2 \\ <br /> & 3y-&z=4<br />\end{matrix}\right.

e risolvere il sistema a partire da tale fattorizzazione.

se mi potere spiegare passo passo l'esercizio ve ne sarei grato, considerato che la materia la sto cominciando ora a studiare :pray


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: andreacannella on 08-09-2011, 14:52:02
ad esempio il primo esercizio del 7 febbraio 2011 mi dice di trovare la fattorizzazione LU della matrice del sistema

\left\{\begin{matrix}<br />x+ &  & z=-3\\ <br />2x & y- & z=-2 \\ <br /> & 3y-&z=4<br />\end{matrix}\right.

e risolvere il sistema a partire da tale fattorizzazione.

se mi potere spiegare passo passo l'esercizio ve ne sarei grato, considerato che la materia la sto cominciando ora a studiare :pray

A breve te lo posto  :-OK


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: andreacannella on 08-09-2011, 15:23:56
Calcolo i moltiplicatori:

m21 = - a21/a11 = -2 ; m31 = - a31/a11 = 0 ;

Da essi ottengo L1 come

(  1  0  0 )
( -2  1  0 )
(  0  0  1 )

Riduco la matrice e calcolo da essa il moltiplicatore m32

m32= - a32/a22 = -3

Ottengo quindi L2 come:

(  1  0  0 )
(  0  1  0 )
(  0 -3  1 )

L^-1 = L2 * L1 =

(  1  0  0 ) (  1  0  0 )
(  0  1  0 ) ( -2  1  0 )  =
(  0 -3  1 ) (  0  0  1 )

(  1  0  0 )
( -2  1  0 )
(  6 -3  1 )

Abbiamo appena ottenuto l'inverso di L. Questa matrice ci servirà per il calcolo di U.

L sarà quindi inv(L^-1).

Calcoliamo dunque l'inversa di L^-1 che è la matrice L:

(  1  0  0 |  1  0  0 )               (  1  0  0 )
( -2  1  0 |  0  1  0 ) =       =  (  2  1  0 )
(  6 -3  1 |  0  0  1 )     ...       (  0  3  0 )

Calcoliamo U come

A = LU --> L^-1 * A = L^-1 * L * U --> L^-1 * A = U

La matrice U sarà quindi:

(  1  0  0 )     (  1  0  1 )        (  1  0  1 )
( -2  1  0 )     (  2  1 -1 )  =   (  0  1 -3 )
(  6 -3  1 )     (  0  3 -1 )        (  0  0  8 )

Il sistema si risolve dunque:

LU = A ; Ax=b --> LUx=b -->Ux=y ; Ly = b

b = (-3, -2, 4)


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: turì on 08-09-2011, 17:14:24
sei stato davvero gentilissimo, ti ringrazio molto!


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: andreacannella on 08-09-2011, 18:04:13
sei stato davvero gentilissimo, ti ringrazio molto!

Figurati  :-OK


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: Crasher on 08-09-2011, 19:19:18
C'è un errore nella matrice L:
(  1  0  0 |  1  0  0 )               (  1  0  0 )
( -2  1  0 |  0  1  0 ) =       =  (  2  1  0 )
(  6 -3  1 |  0  0  1 )     ...       (  0  3  1 )

Infatti, a prescindere dal fatto che dalla teoria i vari l_i_i devono essere uguali a 1, facendo il prodotto tra la matrice L e U dovremmo ottenere A e risulta mettendo 1. .smile


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: turì on 08-09-2011, 20:14:13
invece l'esercizio 4 come lo avete fatto?

              1  -1   2
data A=-1   3  -1
              2  -1   5

trovare la fattorizzazione di Cholesky.

siccome la formula è A=L*Lt devo calcolarmi la L come nell'esercizio della fattorizzazione LU?


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: Crasher on 08-09-2011, 20:22:29
La fattorizzazione di Cholesky è A = L * L^T  cioè il prodotto tra L e la sua trasposta.
Tale fattorizzazione si può applicare solo alle matrici quadrate simmetriche e definite positive (come in questo caso).
Adesso non ho il tempo per svolgerlo, ma nelle slide c'è la formula da applicare ai vari elementi della matrice L. La matrice L è una triangolare inferiore (quindi la sua trasposta è triangolare sup.).


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: turì on 08-09-2011, 22:14:11
altra domanda: come si verifica se una matrice è definita positiva?

xt*A*x>0 come si prova?


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: Crasher on 08-09-2011, 22:49:35
altra domanda: come si verifica se una matrice è definita positiva?

xt*A*x>0 come si prova?
Teorema di Sylvester!


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: turì on 09-09-2011, 08:11:52
altra domanda: come si verifica se una matrice è definita positiva?

xt*A*x>0 come si prova?
Teorema di Sylvester!

già vero, basta calcolare i determinanti Ak e se sono tutti positivi allora la matrice è definita positiva.


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: turì on 09-09-2011, 09:48:00
raga un aiuto con cholesky se potete farmi vedere passo passo come si fa vi scongiuro :pray

ecco vi posto il mio risultato

A=U*UT

la U mi viene

 1  0  0
-1 \sqrt{2} 0
 2 \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{2}


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: Crasher on 09-09-2011, 10:24:40
         (1  -1  2)
A =   (-1  3  -1)
         (2  -1  5)


Questa è la matrice L e gli elementi da calcolare

L = \begin{bmatrix}l_1_1 &&& 0 &&& 0 \\ l_2_1 &&& l_2_2 &&& 0 \\ l_3_1 &&& l_3_2 &&& l_3_3 \end{bmatrix}

l_1_1 = \sqrt{a_1_1} = \sqrt{1} = 1

l_2_1 = \frac{1}{l_1_1}(a_2_1) = \frac{-1}{1} = -1

l_3_1 = \frac{1}{l_1_1}(a_3_1) = \frac{2}{1} = 2

l_2_2 = \sqrt{a_2_2 - (l_2_1)^ 2} = \sqrt{3-1} = \sqrt{2}

l_3_2 = \frac{1}{l_2_2}(a_3_2 - l_2_1\cdot l_3_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1 +2) = \frac{1}{\sqrt{2}}

l_3_3 = \sqrt{a_3_3 - (l_3_2)^2 - (l_3_1)^2} = \sqrt{5-\frac{1}{2} - 4} = \sqrt{0.5}

L = \begin{bmatrix}1 &&& 0 &&& 0 \\ -1 &&& \sqrt{2} &&& 0 \\ 2 &&& \frac{1}{\sqrt{2}} &&& \sqrt{0.5} \end{bmatrix}


L^T = \begin{bmatrix}1 &&& -1 &&& 2 \\ 0 &&& \sqrt{2} &&& \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 &&& 0 &&& \sqrt{0.5} \end{bmatrix}


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: turì on 09-09-2011, 10:28:47
corretto, mi ero dimenticato la radice :[Emoticon] Asd:


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: turì on 09-09-2011, 10:36:55
al numero 5 dove si chiede di calcolare l'ordine polinomiale può essere che l'ordine è infinito?

l'andamento che segue la Q(f) si avvicina sempre più allo 0 quando si aumenta il grado.

dell'esame del 21/02/2011 nel primo esercizio come vi viene la fattorizzazione LU? il procedimento che ho seguito è quello di calcolare L1 e L2 e poi trovarmi L-1=L2*L1. poi mi trovo la L e infine la U=L-1*A solo che quando faccio la prova moltiplicando L*U non mi viene A, sicuramente avrò fatto errori di calcolo :-)|

se potete postare la vostra soluzione ve ne sarei grato .arrossisco


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: andreacannella on 09-09-2011, 23:28:02
L è anche la matrice con gli elementi -m21, -m31 e -m32.

Fai questa verifica per L.

In ogni caso ti ricordo che puoi verificartelo facilmente con MatLab con la funzione lu.

Ciao

Andrea


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: turì on 10-09-2011, 09:50:14
grazie del suggerimento .wink

ho controllato e mi sono accorto di aver commesso alcuni errori nel calcolare il prodotto tra matrici.

altra cosa:

trovare l'ordine polinomiale della seguente formula di quadratura

Q(f)=2*f(-3/4)-2*f(0)+2*f(3/4)

f=x         allora 2*(-3/4)-(2*0)+(2*3/4)=0
f=x^2    allora 2*(9/16)-(2*0)+(2*9/16)=9/4

allora è di ordine 1, è corretto?


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: turì on 13-09-2011, 15:19:23
please rispondete :pray


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: turì on 16-09-2011, 17:06:06
mostrare che l'ordine polinomiale del metodo di Simpson è 3. mi spiegate come si procede?


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: TheManuz on 21-09-2011, 20:42:30
l_3_2 = \frac{1}{l_2_2}(a_3_2 - a_2_1\cdot a_3_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1 +2) = \frac{1}{\sqrt{2}}
Questo mi sembra sbagliato. Non dovrebbe essere
l_3_2 = \frac{1}{l_2_2}(a_3_2 - l_2_1\cdot l_3_1}?


Title: Re:soluzione esami di formazione numerica
Post by: Crasher on 21-09-2011, 21:24:56
Esatto! Il risultato cmq non cambia. Editato.