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LAUREA TRIENNALE (D.M. 270/04) => Elementi di Analisi Matematica, 12 CFU => Topic started by: Shin on 06-12-2011, 18:44:58



Title: Studiare il carattere di una serie
Post by: Shin on 06-12-2011, 18:44:58
Studiare il carattere della serie al variare di x>0

\fs{10}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^x)}

Applicanto il criterio del rapporto il limite viene 1 quindi non possiamo dire nulla sul carattere della serie.

Applicando il criterio di Raabe viene una forma indeterminata +\infty per 0.

Come risolvere??


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: thomas89 on 07-12-2011, 10:59:06
Scusa non lo vedo bene, ma al denominatore n a cosa è elevato?


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: ɹǝǝuıƃuǝsɹǝʌǝɹ on 07-12-2011, 11:07:12
\fs{5}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^x)} :-OK


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Shin on 07-12-2011, 11:51:22
grazie reverse ;)

... qualche idea x risolvere il problema?


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Chuck_son on 07-12-2011, 12:41:00
ho utilizzato il criterio degli infinitesimi, quindi moltiplicando ad (a_n): \sqrt{n} ... quindi risulta:

\frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^x)}= \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}(2 + n^x)}=\frac{1}{(2 + n^x)}  

quindi per n>0   (a_n) tende a 0\in\R  con\alpha\leq1 quindi diverge.


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: thomas89 on 07-12-2011, 14:06:23
Si la serie dovrebbe convergere sia con valori compresi tra 0<x<1 e x>1


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Chuck_son on 07-12-2011, 16:57:17
Si la serie dovrebbe ??convergere?? sia con valori compresi tra 0<x<1 e x>1

 .penso


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Shin on 07-12-2011, 17:20:21
Si la serie dovrebbe convergere sia con valori compresi tra 0<x<1 e x>1

No...

Che io sappia, chiamando L il risultato del limite, applicando il criterio del rapporto:

- se L < 1 la serie converge
- se L > 1 la serie diverge
- se L = 1 non possiamo dire niente

invece applicando il criterio di Raabe:

- se L < 1 la serie diverge
- se L > 1 la serie converge
- se L = 1 non possiamo dire niente


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Chuck_son on 07-12-2011, 17:57:08
quoto shin  .smile


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Shin on 08-12-2011, 12:25:54
ho utilizzato il criterio degli infinitesimi, quindi moltiplicando ad (a_n): \sqrt{n} ... quindi risulta:

\frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^x)}= \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}(2 + n^x)}=\frac{1}{(2 + n^x)}  

quindi per n>0   (a_n) tende a 0\in\R  con\alpha\leq1 quindi diverge.


spacca  :yoh


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Gpeppe69 on 09-12-2011, 13:40:51
prima devi studiare la serie al variare della x..e non applicare criteri.


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Chuck_son on 09-12-2011, 13:43:56
credo sia indifferente.. in ogni caso per qualunque x il limite fa zero, quindi devi applicarli lo stesso i criteri


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Shin on 09-12-2011, 14:38:43
credo sia indifferente.. in ogni caso per qualunque x il limite fa zero, quindi devi applicarli lo stesso i criteri

 |-O


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Gpeppe69 on 09-12-2011, 16:33:51
al variare della x studia la serie quindi sono 3 casi da studiare....tutto dipende dalla x


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Chuck_son on 09-12-2011, 16:35:55
al variare della x studia la serie quindi sono 3 casi da studiare....tutto dipende dalla x

sentiamo ... spiegati... e scrivi quello che intendi


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Luxandro on 09-12-2011, 21:33:03
La serie diverge per ogni 0<x<1.

Per esempio, considerando {x = \frac{1}{2}}, si avrà la serie \fs{5}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + \sqrt{n})}

Applicando il secondo criterio del confronto (o criterio del confronto asintotico), confrontandola con la serie armonica generalizzata
\fs{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha} con \alpha\leq1 (per esempio \fs{5}{\alpha}=1) la serie armonica diverge e si avrà

\fs{5}lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{ {\frac{1}{n+2\sqrt{n}}}}{\frac{1}{n}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n}{n+2\sqrt{n}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{ 1+{\frac{2}{\sqrt{n}}} } = 1 > 0

allora la serie \fs{10}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^x)} diverge per il secondo criterio del confronto



Per x>=1 la serie converge

Infatti, ponendo x = 1 avremo la serie \fs{5}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + n)}

Applicando il secondo criterio del confronto, confrontandola con la serie armonica generalizzata
\fs{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha} con {\alpha}=\frac{3}{2} la serie armonica converge e si avrà

\fs{5}lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{ {\frac{1}{\sqrt{n^3}+2\sqrt{n}}}}{\frac{1}{\sqrt{n^3}}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{n^3}}{\sqrt{n^3}+2\sqrt{n}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{1+\frac{2}{n}} = 1\in\R

allora la serie \fs{10}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^x)} converge per il secondo criterio del confronto


La serie converge anche per x>1
Infatti se x = 2 la serie considerata sarà \fs{5}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^2)}

Applicando il secondo criterio del confronto, confrontandola con la serie armonica generalizzata
\fs{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha} con {\alpha}=\frac{5}{2} la serie armonica converge e si avrà

\fs{5}lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{ {\frac{1}{\sqrt{n^5}+2\sqrt{n}}}}{\frac{1}{\sqrt{n^5}}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{n^5}}{\sqrt{n^5}+2\sqrt{n}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{1+\frac{2}{n^2}} = 1\in\R

allora la serie \fs{10}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^x)} converge per il secondo criterio del confronto


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Luxandro on 09-12-2011, 22:09:40
ho utilizzato il criterio degli infinitesimi, quindi moltiplicando ad (a_n): \sqrt{n} ... quindi risulta:

\frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^x)}= \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}(2 + n^x)}=\frac{1}{(2 + n^x)}  

quindi per n>0   (a_n) tende a 0\in\R  con\alpha\leq1 quindi diverge.


Non vorrei sbagliarmi ma per il criterio degli infinitesimi quando \alpha\leq1 il limite deve essere diverso da zero


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Luxandro on 09-12-2011, 23:27:29
Ho impiegato 3 ore per scrivere sto post  .huh Quanto meno ho imparato ad usare il latex :-)|


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Chuck_son on 10-12-2011, 20:22:33
ahhaha luxandro spacca


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Chuck_son on 12-12-2011, 13:20:40
un dubbio .. ma perche dividi  a_n  per 0<\alpha<1 per \frac{1}{n}?


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Luxandro on 12-12-2011, 23:07:36
un dubbio .. ma perche dividi  a_n  per 0<\alpha<1 per \frac{1}{n}?

è 0<x<1 non \alpha


Title: Re:Studiare il carattere di una serie
Post by: Chuck_son on 13-12-2011, 15:25:11
ok.. ma perche?