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LAUREA TRIENNALE (D.M. 270/04) => Fondamenti di Informatica, 9 CFU => Topic started by: Gabriele7 on 08-11-2017, 18:44:34



Title: Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: Gabriele7 on 08-11-2017, 18:44:34
Salve professore, ho provato a fare l’esercizio n.8, le riporto quanto ho scritto:

Poiché devo dimostrare che la regola di inferenza è ammissibile, se e solo se
Gamma |= A , Gamma |=  B  implica Gamma |= C

Dimostro che not(A →not (B)) |= A  con la tabella di verità
 
A  B   not(A→ not(B))
0   0       0
0   1       0
1   0       0
1   1       1

Dalla tabella si può dedurre che A è vera in tutti i mondi in cui not(A→ not(B)) è vera, quindi A è conseguenza tautologica.
Per questo possiamo dire che la regola è ammissibile.

Non sono però sicuro che il procedimento sia giusto, può dirmi se sbaglio ed eventualmente correggermi?




Title: Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: Franco Barbanera on 08-11-2017, 22:34:31
Salve professore, ho provato a fare l’esercizio n.8, le riporto quanto ho scritto:

Poiché devo dimostrare che la regola di inferenza è ammissibile, se e solo se
Gamma |= A , Gamma |=  B  implica Gamma |= C

Dimostro che not(A →not (B)) |= A  con la tabella di verità
 
A  B   not(A→ not(B))
0   0       0
0   1       0
1   0       0
1   1       1

Dalla tabella si può dedurre che A è vera in tutti i mondi in cui not(A→ not(B)) è vera, quindi A è conseguenza tautologica.
Per questo possiamo dire che la regola è ammissibile.
Non sono però sicuro che il procedimento sia giusto, può dirmi se sbaglio ed eventualmente correggermi?

L'esercizio e' in due parti. Tu hai fatto la seconda parte dell'esercizio, usando la prima parte, che pero'
non hai dimostrato.

Prima di tutto c'e' un errore nell'esercizio, che ora ho corretto.

Prendiamo ora la prima parte (ora corretta) dell'esercizio e cerchiamo di farla.
La prima parte dice:
Dimostrare che, nel calcolo proposizionale, una regola di inferenza

        A1 A2 ... An 
      ----------------
             C

e' ammissibile se e solo se

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C

Dobbiamo far quindi vedere che
1)
Se   
       A1 A2 ... An 
      ----------------
             C
e' ammissibile

allora

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C

2)
Se
( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C
allora
      A1 A2 ... An 
      ----------------
             C
e' ammissibile.

Inizia con la parte 1)


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: josura on 09-11-2017, 15:17:55

Dimostrare che, nel calcolo proposizionale, una regola di inferenza

        A1 A2 ... An  
      ----------------
             C

e' ammissibile se e solo se

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C

Dobbiamo far quindi vedere che
1)
Se    
       A1 A2 ... An  
      ----------------
             C
e' ammissibile

allora

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C

2)
Se
( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C
allora
      A1 A2 ... An  
      ----------------
             C
e' ammissibile.

Inizia con la parte 1)


Quindi si dovrebbe dimostrare che le ipotesi(non so se sono ipotesi) sono tautologie o che il valore di verità delle affermazioni deve essere 1 negli stessi mondi, probabilmente mi sto sbagliando con i segni, se la regola è ammissibile significa che C e' conclusione di una derivazione che non usa la regola stessa, quindi C dovrebbe essere vera negli stessi assegnamenti proposizionali di An, ma lei ha scritto che :
e' ammissibile se e solo se

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C

Significa che devono essere tutte tautologie o mi sto sbagliando con i segni?
O mi sto sbagliando con tutto?
Sono dubbioso.


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: Franco Barbanera on 09-11-2017, 15:35:29
( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C
Significa che devono essere tutte tautologie o mi sto sbagliando con i segni?


Si, significa che se tutte le A sono tautologie, allora lo e' anche C.

Quindi si dovrebbe dimostrare che le ipotesi(non so se sono ipotesi) sono tautologie o che il valore di verità delle affermazioni deve essere 1 negli stessi mondi, probabilmente mi sto sbagliando con i segni, se la regola è ammissibile significa che C e' conclusione di una derivazione che non usa la regola stessa, quindi C dovrebbe essere vera negli stessi assegnamenti proposizionali di An, ma lei ha scritto che
e' ammissibile se e solo se


Io sono l'ultima persona che puo' fare appunti relativi all'italiano (vuoi scritto, vuoi orale),
ma ti faccio sommessamente notare che la frase da te scritta supera decisamente ogni limite di
comprensibilita'.
Non fosse altro che e' una stringa di parole lunga 4 righe in cui l'unico segno di interpunzione
utilizzato e' la virgola....

Ricordatevi che in futuro, per quanto riguarda l'italiano, vi dovrete confrontare
non con il prof. Barbanera, ma con responsabili del personale di aziende...

Pace e Bene


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: josura on 09-11-2017, 15:40:30
Mi scusi prof, ho scritto di fretta creando super#@!!0le casuali(che belle le censure).
Tenterò di risolvere la prima parte dell'esercizio.


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: luca98 on 09-11-2017, 16:12:48
"Si, significa che se tutte le A sono tautologie, allora lo e' anche C."

scusi professore ma il segno |= non significa conseguenza tautologica? che c'entra la tautologia?

non capisco...


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: luca98 on 09-11-2017, 16:40:56
Salve professore, ho provato a fare l’esercizio n.8, le riporto quanto ho scritto:

Poiché devo dimostrare che la regola di inferenza è ammissibile, se e solo se
Gamma |= A , Gamma |=  B  implica Gamma |= C

Dimostro che not(A →not (B)) |= A  con la tabella di verità
 
A  B   not(A→ not(B))
0   0       0
0   1       0
1   0       0
1   1       1

Dalla tabella si può dedurre che A è vera in tutti i mondi in cui not(A→ not(B)) è vera, quindi A è conseguenza tautologica.
Per questo possiamo dire che la regola è ammissibile.
Non sono però sicuro che il procedimento sia giusto, può dirmi se sbaglio ed eventualmente correggermi?

L'esercizio e' in due parti. Tu hai fatto la seconda parte dell'esercizio, usando la prima parte, che pero'
non hai dimostrato.

Prima di tutto c'e' un errore nell'esercizio, che ora ho corretto.

Prendiamo ora la prima parte (ora corretta) dell'esercizio e cerchiamo di farla.
La prima parte dice:
Dimostrare che, nel calcolo proposizionale, una regola di inferenza

        A1 A2 ... An 
      ----------------
             C

e' ammissibile se e solo se

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C

Dobbiamo far quindi vedere che
1)
Se   
       A1 A2 ... An 
      ----------------
             C
e' ammissibile

allora

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C

2)
Se
( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C
allora
      A1 A2 ... An 
      ----------------
             C
e' ammissibile.

Inizia con la parte 1)



jo provato a fare la prima parte in questo modo...

dobbiamo dimostrare due cose:

1) se la regola è ammissibile allora (|= A1, |= A2,...., |=An) implica |= C
2) se (|= A1, |= A2,...., |=An) implica |= C allora la regola è ammissibile

iniziamo con 1)

se ho |= A1, |= A2, ... , |= An allora posso affermare pure |- A1, |- A2,..., |- An (non mi ammazzi se ho scritto un'idiozia)

quindi ipotizzo n teoremi. successivamente, poiche R è ammissibile posso aggiungere C alla mia dimostrazione(dimostro C in p0+R. quindi la stessa C la posso ottene anche in p0). ho dimostrato così che |- C e quindi anche |= C.

-
-
-
-
-
A1
-
-
-
-
A2
-
-
-
-
An
-
-
C

2) ipotizziamo ora una dimostrazione generica in p0+R di gamma  |- (p0+r) gamma. se gamma è una dimostrazione in p0+r vuol dire che da qualche parte ci sono degli usi della regola R.

costruisco la derivazione:

-
-
A1
-
-
A2
-
-                                                    nella mia derivazione inserisco le sottodimostrazioni di |- A1, A2, An
-
An

siccome ho queste sottodimostrazioni, sicuramente ho anche una dimostrazione di |- C. allora prendo questa dimostrazione in p0 e la metto al posto della regola(per ogni applicazione di quest'ultima).

ottengo cosi |- gamma (si può ottenere la dimostrazione di gamma anche senza R). R è allora ammissibile

cosi facendo abbiamo dimostrato il tutto...o almeno lo spero! :boh



Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: josura on 09-11-2017, 17:18:13
Per la parte 1
1)

Dimostrare che, nel calcolo proposizionale, una regola di inferenza

        A1 A2 ... An  
      ----------------
             C

e' ammissibile se e solo se

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C

Dobbiamo far quindi vedere che
1)
Se    
       A1 A2 ... An  
      ----------------
             C
e' ammissibile

allora

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C
Si deve quindi dimostrare prima di tutto che le affermazioni del sistema formale P0(calcolo proposizionale) sono derivabili anche senza l'ausilio della regola dell'esercizio, quindi una qualsiasi fbf del sistema si può derivare come
Γ|-PoAn
dove Γ è un insieme di fbf appartenente a P0 .
Secondo il teorema di correttezza  si avrà che:
se Γ|-PoAn allora  Γ|=An
cioè se (tutto cio che è derivabile con delle ipotesi nel sistema P0) allora ( An è vero in tutti i mondi in cui le ipotesi sono vere) quindi :
se|-PoAn (Teorema) allora  |=An (tautologia)
Quindi se C è la conclusione di una regola dove le fbf sono tutti teoremi/tautologie, allora anche C sarà una tautologia
quindi la regola  è ammissibile se e solo se tutte le sue ipotesi sono tautologie ed implicano una conclusione che sia essa stessa una tautologia.

2)
2)
Se
( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C
allora
      A1 A2 ... An  
      ----------------
             C
e' ammissibile.

Se le derivazioni all'interno del sistema non dipendono dalla regola  e sono derivabili anche senza di essa, allora la regola è ammissibile.

Se ho sbagliato mi corregga, specialmente nella seconda parte.
Se ho scritto male me lo dica che mi metto a piangere in un angolo per la mia tristezza proposizionale :-)| .sisi


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: Franco Barbanera on 09-11-2017, 17:27:32
"Si, significa che se tutte le A sono tautologie, allora lo e' anche C."

scusi professore ma il segno |= non significa conseguenza tautologica? che c'entra la tautologia?

non capisco...

Lo abbiamo detto anche a lezione.
Se alfa è conseguenza tautologia dell'insieme vuoto, allora vuol dire che è vera per tutti gli assegnamenti proposizionali che rendono vere tutte le fbf nell'insieme vuoto. E quali sono gli assegnamenti proposizionali che rendono vere tutte le fbf di un insieme vuoto? Sono tutti. Quindi alfa e vera per tutti gli assegnamenti proposizionali; è quindi una tautologia.


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: josura on 09-11-2017, 17:29:35
Mi sembra comunque di aver fatto come il mio collega, anche se non ho specificato l'induzione completa come ha fatto lui, era però implicita nella mia spiegazione( sempre se mi sono espresso bene :pray)


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: Franco Barbanera on 09-11-2017, 17:41:59
Caro Josura, rispondo al tuo penultimo post.

Tu scrivi
Si deve quindi dimostrare prima di tutto che le affermazioni del sistema formale P0(calcolo proposizionale) sono derivabili

Per prima cosa l'esercizio parla di ammissibilita', NON di derivabilita'!!!

E sono le regole ad essere ammissibili, NON le fbf.


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: josura on 09-11-2017, 17:58:12
Prof, lo sapevo di aver scritto male ed incomprensibile
Caro Josura, rispondo al tuo penultimo post.

Tu scrivi
Si deve quindi dimostrare prima di tutto che le affermazioni del sistema formale P0(calcolo proposizionale) sono derivabili

Per prima cosa l'esercizio parla di ammissibilita', NON di derivabilita'!!!

E sono le regole ad essere ammissibili, NON le fbf.

Giuro che non intendevo questo, cerco di rispiegarlo più comprensibilmente ( forse).
Per essere ammissibile una regola deve esistere una dimostrazione di un qualsiasi teorema in P0+R, e di tale teorema esiste una dimostrazione in P0.
Io ho tentato di derivare le singole fbf del sistema senza la regola , ed ho usato il teorema di correttezza per far vedere che sono teoremi e tautologie e che tutte le An sono derivabili anche senza la regola .
Dopo ho spiegato che siccome C è la conclusione di una regola dove tutte le premesse sono tautologie, allora anche C sarà una tautologia secondo il teorema di correttezza.

Mi corregga ancora cosicché possa avere le idee più chiare.


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: Franco Barbanera on 09-11-2017, 20:16:40
Per essere ammissibile una regola deve esistere una dimostrazione di un teorema in P0+R, e di tale teorema esiste una dimostrazione in P0.

NO!
E' ammissibile quando OGNI teorema in P0+R e' anche un teorema in P0


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: Franco Barbanera on 09-11-2017, 20:20:32
Quote
iniziamo con 1)

se ho |= A1, |= A2, ... , |= An allora posso affermare pure |- A1, |- A2,..., |- An (non mi ammazzi se ho scritto un'idiozia)

quindi ipotizzo n teoremi. successivamente, poiche R è ammissibile posso aggiungere C alla mia dimostrazione(dimostro C in p0+R. quindi la stessa C la posso ottene anche in p0). ho dimostrato così che |- C e quindi anche |= C.

-
-
-
-
-
A1
-
-
-
-
A2
-
-
-
-
An
-
-
C

Questa e' la parte 1) proposta da luca98.

Lui inizia dicendo
quindi ipotizzo n teoremi.

NON si ipotizzano i teoremi!

Possiamo dire: supponiamo che i vari Ai siano teoremi.

Poi il ragionamento di luca98 e' corretto, ma andrebbe spiegato meglio.
Si puo' dire:
costruisco una dimostrazione per |-Po+R C
mettendo i teoremi delle Ai uno di seguito all'altro, e poi utilizzo la regola R.
Poiche' R abbiamo assunto che sia ammissibile, avremo anche che |-Po C.


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: josura on 09-11-2017, 20:32:19
Per essere ammissibile una regola deve esistere una dimostrazione di un teorema in P0+R, e di tale teorema esiste una dimostrazione in P0.

NO!
E' ammissibile quando OGNI teorema in P0+R e' anche un teorema in P0
Grazie prof, tutto chiaro, almeno spero.


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: Franco Barbanera on 09-11-2017, 21:54:05
Passiamo alla parte 2) proposta da luca98

Quote
2) ipotizziamo ora una dimostrazione generica in p0+R di gamma  |- (p0+r) gamma. se gamma è una dimostrazione in p0+r vuol dire che da qualche parte ci sono degli usi della regola R.

costruisco la derivazione:

-
-
A1
-
-
A2
-
-                                                    nella mia derivazione inserisco le sottodimostrazioni di |- A1, A2, An
-
An

siccome ho queste sottodimostrazioni, sicuramente ho anche una dimostrazione di |- C. allora prendo questa dimostrazione in p0 e la metto al posto della regola(per ogni applicazione di quest'ultima).

ottengo cosi |- gamma (si può ottenere la dimostrazione di gamma anche senza R). R è allora ammissibile

cosi facendo abbiamo dimostrato il tutto...o almeno lo spero! boh

ipotizziamo ora una dimostrazione generica in p0+R di gamma  |- (p0+r) gamma. se gamma è una dimostrazione in p0+r

Immagino si intenda:
..una dimostrazione generica in p0+R di gamma  |- (p0+r) ALFA,

la parte
 se gamma è una dimostrazione in p0+r

e' sbagliata e ridondante insieme.

Quello che bisogna dire e' che, presa la derivazione per gamma  |- (p0+r) ALFA
che supponiamo di avere, questa conterra' eventualmente delle applicazioni di r.
Prendiamo la prima applicazione di r

:
A1
:
A2
:
:
An
:
C      r
:
:
:
alfa

Essendo quella indicata la prima applicazione di r,
le sottoderivazioni per A1,A2....An fanno vedere che
|--Po  A1,  |--Po A2, .. |--Po  An
Quindi esiste una derivazione che mostra che |--Po  C.
Sia
-
-
-
C
tale derivazione.
La possiamo quindi prendere e sostituire all'applicazione della regola r,
ottenendo
:
A1
:
A2
:
:
An
:
-
-
-
C
:
:
:
alfa

Applichiamo questa procedura su tutte le allpicazioni della regola r
e atteniamo cosi' una derivazione con alfa come conclusione, ed in cui la regola r non viene
usata.



Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: luca98 on 09-11-2017, 21:59:56
riscritta cosi come le sembra?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
dobbiamo dimostrare due cose:

1) se la regola è ammissibile allora (|= A1, |= A2,...., |=An) implica |= C
2) se (|= A1, |= A2,...., |=An) implica |= C allora la regola è ammissibile

iniziamo con 1)

intanto sappiamo che se  |= A1, |= A2, ... , |= An allora posso affermare pure |- A1, |- A2,..., |- An

quindi supponiamo che i vari Ai siano teoremi. successivamente, poiche R è ammissibile posso aggiungere C alla mia dimostrazione(dimostro C in p0+R). Se io ottengo C in p0+R quindi la stessa C la posso ottene anche in p0 poichè R è assunta che sia ammissibile. ho dimostrato così che |- C e quindi anche |= C.

-
-
-
-
-
A1
-
-
-
-
A2
-
-
-
-
An
-
-
C

2) ipotizziamo ora una dimostrazione generica in p0+R di gamma  |- (p0+r) gamma. se gamma è una dimostrazione in p0+r vuol dire che da qualche parte ci sono degli usi della regola R.

costruisco la derivazione:

-
-
A1
-
-
A2
-
-                                                    
-
An
-
-
-
gamma

nella mia derivazione inserisco le sottodimostrazioni di |- A1, A2, An

siccome ho queste sottodimostrazioni, sicuramente ho anche una dimostrazione di |- C. allora prendo questa dimostrazione in p0 e la metto al posto della regola(per ogni applicazione di quest'ultima).

ottengo cosi |- gamma dimostrando così che si  può ottenere la dimostrazione di gamma anche senza R. R è allora ammissibile

cosi facendo abbiamo dimostrato il tutto
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mi dica cosa se c'è qualcosa che non va anche nella seconda parte


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: Franco Barbanera on 09-11-2017, 22:03:28
poiche R è ammissibile posso aggiungere C alla mia dimostrazione

Quale dimostrazione!?!?!

Si capisce ovviamente cosa intendi, ma e' detto male.


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: luca98 on 09-11-2017, 22:13:19
con R posso aggiungere C alla dimostrazione formata dalle sottodimostrazioni di |- A1, |-A2, ... , |- An

spero sia quello che vuole sapere


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: Gerasia on 13-11-2017, 18:59:59
"(dimostro C in p0+R. quindi la stessa C la posso ottene anche in p0). ho dimostrato così che |- C e quindi anche |= C."
Quando il mio collega dice questo, a livello pratico ha svolto un qualche "calcolo" o si procede effettivamente dicendo "dimostro ecc.. " perche io piu o meno ho capito come interpretare l'esercizio però mi manca sapere come si procede in questo punto qui

Inviato dal mio GT-I9505 utilizzando Tapatalk


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: Franco Barbanera on 14-11-2017, 00:19:50
con R posso aggiungere C alla dimostrazione formata dalle sottodimostrazioni di |- A1, |-A2, ... , |- An

spero sia quello che vuole sapere

Detto cosi' e' piu' comprensibile.


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: Franco Barbanera on 14-11-2017, 00:41:49
"(dimostro C in p0+R. quindi la stessa C la posso ottene anche in p0). ho dimostrato così che |- C e quindi anche |= C."
Quando il mio collega dice questo, a livello pratico ha svolto un qualche "calcolo" o si procede effettivamente dicendo "dimostro ecc.. " perche io piu o meno ho capito come interpretare l'esercizio però mi manca sapere come si procede in questo punto qui

Dimostriamo
1) se la regola è ammissibile allora (|= A1, |= A2,...., |=An) implica |= C

Supponiamo che R sia ammissibile e dimostriamo che
(|= A1, |= A2,...., |=An) implica |= C

Se |= A1, |= A2,...., |=An
allora, per completezza della logica proposizionale, abbiamo che
|-- A1, |-- A2,...., |-- An
Qnesto vuol dire che esistono delle derivazioni per le varie Ai
Mettiamo ora queste derivazioni una di seguito all'altra:

:
:
A1
:
:
A2
:
:
:
:
An

Quella che otteniamo e' ancora una derivazione corretta in Po.
Al termine di questa derivazione mettiamo C, che inseriamo in quanto  conclusione
della regola R con premesse A1,A2,..,An

:
:
A1
:
:
A2
:
:
:
:
An
C     R

Questa derivazione e' quindi una derivazione in Po+R
Abbiamo cosi' dimostrato C in P0+R. quindi, poiche' ho assunto che R fosse ammissibile,
 la stessa C la posso ottenere anche in P0. ho dimostrato così che |- C e quindi, per
la correttezza di Po, anche |= C

Noterete che e' praticamente quello che ha fatto luca98 con piccole modifiche di presentazione.

Pace e Bene


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: luca98 on 14-11-2017, 17:38:13
perfetto!

per quanto riguarda invece la seconda parte dell' esercizio

---------------------------------------------------------------------------------------
Dimostrare quindi che la regola

       not(A -> not(B)) 
      ---------------------
               A

e' ammissibile.
-----------------------------------------------------------------------------------------

devo fare la tabella di verità o sbaglio?

per provare che not(A →not (B)) |= A

A  B   not(A→ not(B))
0   0       0
0   1       0
1   0       0
1   1       1

verrebbe una cosa del genere però non sono assolutamente convinto di quello che ho fatto...



Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: Wornairz on 14-11-2017, 19:14:28
Salve professore. Insieme a DaniloS, GremonRents e Quezal17 abbiamo fatto l'esercizio in un modo leggermente diverso. È corretta la nostra soluzione?

 -Supponendo R ammissibile devo dimostrare che (|= A1, |= A2,...., |=An) implica |= C
 Essendo la regola ammissibile, la sua conclusione sarà un teorema quindi |- C
 Per il teorema di correttezza da |- C allora passiamo a |= C
 Essendo C conseguenza dell'insieme vuoto, è una tautologia quindi sempre vera
 Usando la semantica dell'implicazione abbiamo che A->B è falsa solamente quando A=1 e B=0. La nostra implicazione è del tipo (|= A1, |= A2,...., |=An) -> |= C ed essendo |= C sempre vera l'implicazione sarà sempre vera.
 -Adesso supponiamo (|= A1, |= A2,...., |=An) implica |= C vera
 Per il teorema di completezza da |= C passiamo a |- C
 Quindi abbiamo dimostrato C senza la regola d'inferenza ergo è ammissibile.


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: Franco Barbanera on 14-11-2017, 22:09:16
Essendo la regola ammissibile, la sua conclusione sarà un teorema quindi |- C

Assolutamente no.

Prendi il sistema dell'esercizio 35.3

R' e' ammissibile, ma baa NON e' un teorema!


Il resto non l'ho letto, poiche' gia' la prima riga e' scorretta.

Eventualmente modificate e proponete di nuovo la vostra soluzione.

Salutoni
FB


Title: Re:Esercizio Logica Proposizionale n. 8
Post by: Franco Barbanera on 17-11-2017, 11:18:48
perfetto!

per quanto riguarda invece la seconda parte dell' esercizio

---------------------------------------------------------------------------------------
Dimostrare quindi che la regola

       not(A -> not(B))  
      ---------------------
               A

e' ammissibile.
-----------------------------------------------------------------------------------------

devo fare la tabella di verità o sbaglio?

per provare che not(A →not (B)) |= A

A  B   not(A→ not(B))
0   0       0
0   1       0
1   0       0
1   1       1

verrebbe una cosa del genere però non sono assolutamente convinto di quello che ho fatto...

per provare che not(A →not (B)) |= A

Per utilizzare la proprieta' dimostrata nella prima parte,
devi far vedere che
se |= not(A →not (B)) allora  |= A.

Quindi, se tu intendi utilizzare il fatto, anche se semplice, che
not(A →not (B)) |= A,
allora devi far vedere che
|= not(A →not (B)) implica |= A


(ho comunque inserito la soluzione dell'esercizio nella pagina degli esercizi)