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LAUREA TRIENNALE (D.M. 270/04) => Elementi di Analisi Matematica, 12 CFU => Topic started by: flashato90 on 09-01-2010, 10:57:37



Title: serie segni alterni
Post by: flashato90 on 09-01-2010, 10:57:37
Salve...avendo di fronte una serie a segni alterni e avendo applicato il criterio di leibniz (ma non va perche il limite risulta +inf)...avendo poi applicato un teorema sulle serie a segni alterni (le cui condizioni affinche la serie sia oscillante sono che |an|sia non decrescente,e neanche questo va perche la serie non risulta "non decrescente").......che altro posso fare dire o applicare???ps:l'unica cosa che so è che per n dispari la serie è a termini pèositivi ed è anche divergente avendo lim an=+inf....


Title: Re:serie segni alterni
Post by: XDnl on 09-01-2010, 11:36:12
Ciao flashato90! :)
Qual'è il termine generale della serie? Sei sicuro che sia a segni alterni (e non a segni variabili)?
In base alla monotonia della successione (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{|a_n|\}) ci sono due teoremi.

Se (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{|a_n|\}) è non crescente (o decrescente) puoi applicare Leibniz.
Se il limite ti viene zero, allora la serie è convergente, altrimenti è oscillante.

Se (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{|a_n|\}) è non decrescente (o anche crescente) puoi applicare il teorema che hai detto tu,  concludendo che la serie è oscillante.

In alternativa, potresti provare a studiare l'assoluta convergenza della serie.


Title: Re:serie segni alterni
Post by: flashato90 on 09-01-2010, 11:43:07
 ehi xDnl ciao!! cmq mi riferisco all'esercizio che la prof ha lasciato prima delle vacanze...precesamente l'ultimo!! quello SERIE: [4^n + (-3)^(n+1)]*(n^2  + 1)/(2n^2 + 1)....


Title: Re:serie segni alterni
Post by: XDnl on 09-01-2010, 11:48:49
E' questa la serie (tanto per non fare calcoli inutili..)?

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(4^n&space;+(-3)^{n+1})(n^2+1)}{2n^2+1})


Title: Re:serie segni alterni
Post by: flashato90 on 09-01-2010, 12:06:00
sisi..io l'avevo scritta in forma leggermente differente..ma è identica...a me in base ai calcolo risulta oscillante...non so se è giusta!


Title: Re:serie segni alterni
Post by: XDnl on 09-01-2010, 12:31:38
Verifichiamo la condizione necessaria per la convergenza delle serie:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to+\infty}&space;\frac{[4^n&space;+&space;(-3)^{n+1}](n^2+1)}{2n^2&space;+&space;1})

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to+\infty}&space;[4^n&space;+&space;(-3)^{n+1}]&space;\frac{n^2+1}{2n^2&space;+&space;1})

Il secondo fattore converge a (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{2}).

Studiamo il limite del primo fattore:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to+\infty}4^n+(-3)^{n+1})
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to+\infty}4^n[1&space;+&space;(-3)(-\frac{3}{4})^n]&space;=&space;+\infty)

Quindi
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to+\infty}&space;\frac{[4^n&space;+&space;(-3)^{n+1}](n^2+1)}{2n^2&space;+&space;1} = +\infty)

Poichè il limite del termine generale non è zero, la serie non converge.
edit:
Il segno del termine generale è un po' "paricolare", infatti esso dipende solamente da
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?4^n&space;+&space;(-3)^{n&space;+&space;1}).

Risolvendo la disequazione:
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?4^n&space;&plus;&space;(-3)^{n&space;&plus;&space;1}&space;<=&space;0\newline&space;4^n&space;<=&space;-(-3)^{n&space;&plus;1}\newline&space;4^n&space;<=&space;-(-3)(-3)^n\newline&space;4^n&space;<=&space;3(-3)^n\newline&space;1&space;<=&space;3(-\frac{3}{4})^n\newline&space;(-\frac{3}{4})^n&space;>=&space;\frac{1}{3})

Ora, per n dispari è sicuramente falsa.
Mentre per n pari è verificata solo per n = 2.
Per ottenere quest'ultimo risultato ho calcolato i primi 10 termini con Derive, ottenendo:
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_n&space;=&space;4^n&space;&plus;&space;(-3)^{n&space;&plus;&space;1}\newline&space;\{a_n\}&space;=&space;[13,&space;-11,&space;145,&space;13,&space;1753,&space;1909,&space;22945,&space;45853,&space;321193,&space;871429])

In definitiva il termine generale è negativo solo per n = 2.
A questo punto consideriamo la serie resto di posto 2:
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{n=3}^{&plus;\infty}[\frac{4^n&space;&plus;&space;(-3)^{n&space;&plus;&space;1}](n^2&plus;1)}{2n^2&plus;1}). Quest'ultima serie è a termini positivi e per il limite calcolato in precedenza diverge (ed in questo caso possiamo dire che diverge positivamente).
Poichè una serie ha lo stesso carattere di un qualsiasi suo resto, possiamo finalmente concludere che
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{n=1}^{&plus;\infty}[\frac{4^n&space;&plus;&space;(-3)^{n&space;&plus;&space;1}](n^2&plus;1)}{2n^2&plus;1}) diverge positivamente.

(lo so, ci deve essere un  modo più "elegante" per affrontare la cosa, ma per ora non mi viene in mente altro)


Title: Re:serie segni alterni
Post by: Daréios89 on 09-01-2010, 13:39:04
Ma quindi quando si applica il criterio di Leibniz, se la serie è oscillante non ci si ferma lì?

Ma il limite:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to&plus;\infty}4^n&plus;(-3)^{n&plus;1})

Quale forma indeterminata c'è?
non risulta:
4^inf= inf
(-3)^n+1=0  ----> Quindi inf+0 = inf

Cosa sbaglio?

Come l'hai sviluppato?
Hai messo in evidenza 4^n ma non capisco (-3)(-3/4)^n
Sembra corretto il ragionamento per cui diverge.


Title: Re:serie segni alterni
Post by: XDnl on 09-01-2010, 13:47:26
Ma quindi quando si applica il criterio di Leibniz, se la serie è oscillante non ci si ferma lì?
Per applicare il criterio di Leibniz, bisogna assicurarsi che la serie sia a segni alterni che la successione dei valori assoluti sia decrescente (oppure non crescente) (vedi l'edit al mio post precedente)

non risulta:
(-3)^n+1=0
Per quanto riguarda (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to&plus;\infty}(-3)^{n&plus;1}) esso non esiste! (è un po' come (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to&plus;\infty}(-1)^{n}))

Hai messo in evidenza 4^n ma non capisco (-3)(-3/4)^n
Ho cercato di portare l'esponente da n + 1 ad n. Ho semplicemente "portato fuori" un termine della potenza:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?(-3)^{n&space;&plus;&space;1}&space;=&space;(-3)&space;*&space;(-3)^n)

Poi ho diviso per 4^n (ricorda che sto mettendo in comune 4^n) ottenendo:
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?(-3)&space;*&space;\frac{(-3)^n}{4^n}&space;=&space;(-3)(-\frac{3}{4})^n)


Title: Re:serie segni alterni
Post by: Daréios89 on 09-01-2010, 14:54:18
AAAAAH certo, per le proprietà delle potenze  :"-(


Title: Re:serie segni alterni
Post by: AngelEvil on 09-01-2010, 16:02:20

Per applicare il criterio di Leibniz, bisogna assicurarsi che la serie sia a segni alterni che la successione dei valori assoluti sia decrescente (oppure non crescente) (vedi l'edit al mio post precedente)


per applicare Leibniz bisogna bisogna cercare di far figurare la successione a(n) a segno alterno (-1)^n  e vedere come si comporta b(n) cioè se è monotona non decrescente o non crescente  e se lim a(n) è uguale o diverso da 0....la successione dei valori assoluti non capisco dove possa esserci utile....


Title: Re:serie segni alterni
Post by: AngelEvil on 09-01-2010, 16:04:22

Per applicare il criterio di Leibniz, bisogna assicurarsi che la serie sia a segni alterni che la successione dei valori assoluti sia decrescente (oppure non crescente) (vedi l'edit al mio post precedente)


per applicare Leibniz bisogna bisogna cercare di far figurare la successione a(n) a segno alterno (-1)^n  e vedere come si comporta b(n) cioè se è monotona non decrescente o non crescente  e se lim a(n) è uguale o diverso da 0....



Title: Re:serie segni alterni
Post by: flashato90 on 09-01-2010, 16:14:15
Xdnl ma dal momento che tu hai visto che il limite del termine generale era > 0  (di preciso + inf)...non potevi benissimo dire che la serie divergeva???cioe è stato inutile lo studio successivo che hai fatto....oppure no???XD


Title: Re:serie segni alterni
Post by: XDnl on 09-01-2010, 16:20:05
Negli appunti ho scritto:
Criterio di Leibniz
Sia (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{n=1}^{&plus;\infty}a_n) una serie numerica a segni alterni.
Supponiamo che (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{|a_n|\}) sia non crescente (o anche decrescente):
1) Se (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to&plus;\infty}&space;|a_n|&space;=&space;0) allora la serie è convergente e denotata con Sn.. (bla bla bla, non ci interessa nel nostro caso  :[Emoticon] Asd:)

2) Se (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to&plus;\infty}&space;|a_n|&space;\neq&space;0) allora la serie è oscillante.

In ogni caso la serie data non è a segni alterni (sempre se non ho sbagliato a fare calcoli  :[Emoticon] Asd:) ma piuttosto il termine generale è definitivamente positivo.

Stavo provando a dimostrare che è negativo solo per n = 2, in modo più "pulito" senza ricorrere al Derive (visto che poi nel compito non ci sarà ovviamente  :[Emoticon] PC Asd:)...

@flashato90: Con quel limite posso solo dire che la serie non converge, ma non posso dire se essa diverge positivamente o negativamente oppure è oscillante.Questo lo posso dire solo se trovo che la serie è a termini non-negativi (e quindi anche positivi)!
La condizione necessaria per la convergenza dice infatti che
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{n=1}^{&plus;infty}a_n&space;convergente&space;\Rightarrow&space;\lim_{n\to&plus;\infty}a_n&space;=&space;0)
il che equivale a dire
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to&plus;\infty}a_n&space;\neq&space;0&space;\Rightarrow&space;\sum_{n=1}^{&plus;infty}a_n&space;non&space;convergente)
Ma la parola "non convergente" non significa automaticamente divergente positivamente!
Nel caso in cui la serie sia a a termini non-negativi, c'è un teorema che dice che la serie:
1) Converge
2) Diverge positivamente
Solo nel caso in cui la serie sia a termini non-negativi, possiamo dire che se non converge allora diverge positivamente!


Title: Re:serie segni alterni
Post by: flashato90 on 09-01-2010, 16:25:00
penso di aver afferrato...cioe praticamente la serie potrebbe essere div a +inf oppure -inf ...tu provando che la serie è a termine neg solo per n=2 e per tutti gli altri valore è positiva (se non ric male))concludi che diverge essendo serie resto la serie che va da n=3 a + inf....forse sn stato poco chiaro...XD nello scrivere...


Title: Re:serie segni alterni
Post by: AngelEvil on 09-01-2010, 16:30:05
Negli appunti ho scritto:
Criterio di Leibniz
Sia (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{n=1}^{&plus;\infty}a_n) una serie numerica a segni alterni.
Supponiamo che (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{|a_n|\}) sia non crescente (o anche decrescente):
1) Se (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to&plus;\infty}&space;|a_n|&space;=&space;0) allora la serie è convergente e denotata con Sn.. (bla bla bla, non ci interessa nel nostro caso  :[Emoticon] Asd:)

2) Se (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to&plus;\infty}&space;|a_n|&space;\) allora la serie è oscillante.

In ogni caso la serie data non è a segni alterni (sempre se non ho sbagliato a fare calcoli  :[Emoticon] Asd:) ma piuttosto il termine generale è definitivamente positivo.

Stavo provando a dimostrare che è negativo solo per n = 2, in modo più "pulito" senza ricorrere al Derive (visto che poi nel compito non ci sarà ovviamente  :[Emoticon] PC Asd:)...

@flashato90: Con quel limite posso solo dire che la serie non converge, ma non posso dire se essa diverge positivamente o negativamente oppure è oscillante.Questo lo posso dire solo se trovo che la serie è a termini non-negativi (e quindi anche positivi)!

non è così...la serie è del tipo:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to&plus;\infty}&space;(-1)^n a_n&space;)


EDIT:
se non ti fidi dei miei appunti puoi andare a pag 158-159 del G.Emmanuele.... :-OK


Title: Re:serie segni alterni
Post by: XDnl on 09-01-2010, 16:30:53
Sì, vedi l'edit al mio post precedente.
Comunque sarà difficile mantenere il sangue freddo durante la prova di Analisi.... :|
Con una serie così sarei stato preso dal panico :-)|
@AngelEvil: mmh mi stai facendo venire i dubbi.. possibile che ho sbagliato a prendere appunti?
Ti ricordi l'enunciato completo del criterio di leibniz??


Title: Re:serie segni alterni
Post by: AngelEvil on 09-01-2010, 16:34:13
Sì, vedi l'edit al mio post precedente.
Comunque sarà difficile mantenere il sangue freddo durante la prova di Analisi.... :|
Con una serie così sarei stato preso dal panico :-)|
@AngelEvil: mmh mi stai facendo venire i dubbi.. possibile che ho sbagliato a prendere appunti?
Ti ricordi l'enunciato completo del criterio di leibniz??

non hai il libro di analisi?....con latex mi c litigo!!!

comunque guardando sul libro....è sicuramente come dico io...


Title: Re:serie segni alterni
Post by: XDnl on 09-01-2010, 16:42:42
Ho il Marcellini-Sbordone. Cercando un po' ho trovato questo (non c'è scritto esplicitamente Criterio di Leibniz, anche se credo sia questo):
CRITERIO DI CONVERGENZA PER LA SERIE ALTERNATE- Sia an >= 0 una successione decrescente ed infinitesima. Allora la serie (http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_1&space;-&space;a_2&space;&plus;&space;a_3&space;-&space;a_4&space;&plus;&space;...&space;&plus;&space;(-1)^{n&space;-&space;1}&space;*&space;a_n&space;&plus;&space;..) è convergente. Inoltre, detta s la somma, ... bla bla bla


Title: Re:serie segni alterni
Post by: AngelEvil on 09-01-2010, 16:46:02
Ho il Marcellini-Sbordone. Cercando un po' ho trovato questo (non c'è scritto esplicitamente Criterio di Leibniz, anche se credo sia questo):
CRITERIO DI CONVERGENZA PER LA SERIE ALTERNATE- Sia an >= 0 una successione decrescente ed infinitesima. Allora la serie (http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_1&space;-&space;a_2&space;&plus;&space;a_3&space;-&space;a_4&space;&plus;&space;...&space;&plus;&space;(-1)^{n&space;-&space;1}&space;*&space;a_n&space;&plus;&space;..) è convergente. Inoltre, detta s la somma, ... bla bla bla

e quindi come dico io...


Title: Re:serie segni alterni
Post by: XDnl on 09-01-2010, 16:52:59
mmmh non so, a me i due enunciati sembrano equivalenti.
Avere una serie (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{n=1}^{&plus;\infty}a_n) a segni alterni non è equivalente a dire di avere una serie (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{n=1}^{&plus;\infty}(-1)^n&space;*&space;a_n) con  (http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_n&space;>=&space;0&space;\forall&space;n&space;\in&space;\mathbb{N})?

Nel secondo caso si studia (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{a_n\}), mentre nel primo caso, in cui il termine generale "ingloba" il segno alternato, si studia (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{|a_n|\}).

Boh, in questo caso credo sarà meglio chiedere direttamente alla professoressa, evitando di far "divergere" il topic.  :[Emoticon] Asd:
Grazie per le delucidazioni!
P.S: Penso comunque che non si possa applicare Leibniz per la serie postata da flashato90, giusto?


Title: Re:serie segni alterni
Post by: AngelEvil on 09-01-2010, 16:56:50
mmmh non so, a me i due enunciati sembrano equivalenti.
Avere una serie (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{n=1}^{&plus;\infty}a_n) a segni alterni non è equivalente a dire di avere una serie (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{n=1}^{&plus;\infty}(-1)^n&space;*&space;a_n) con  (http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_n&space;>=&space;0&space;\forall&space;n&space;\in&space;\mathbb{N})?

Nel secondo caso si studia (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{a_n\}), mentre nel primo caso, in cui il termine generale "ingloba" il segno alternato, si studia (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{|a_n|\}).

Boh, in questo caso credo sarà meglio chiedere direttamente alla professoressa, evitando di far "divergere" il topic.  :[Emoticon] Asd:
Grazie per le delucidazioni!
P.S: Penso comunque che non si possa applicare Leibniz per la serie postata da flashato90, giusto?

si giusto non penso si possa applicare...


Title: Re:serie segni alterni
Post by: XDnl on 09-01-2010, 18:05:26
Ritornando allo studio della serie, precisamente alla disequazione

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?(-\frac{3}{4})^n&space;\geq&space;\frac{1}{3})
Risolvendo per n otteniamo (http://latex.codecogs.com/gif.latex?n&space;\leq&space;\frac{\ln3}{\ln\frac{16}{9}}) il che non ci aiuta molto.
Nel caso n pari possiamo riscrivere la disequazione nel seguente modo:
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\frac{3}{4})^{2n}&space;\geq&space;\frac{1}{3}\newline&space;(\frac{9}{16})^{n}&space;\geq&space;\frac{1}{3}\newline)

Poichè 9/16 è minore di 1, vale sicuramente
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\frac{9}{16})^{n}&space;>&space;(\frac{9}{16})^{n&plus;1}&space;\forall&space;n&space;\in&space;\mathbb{N})

Per n = 1 (che nella disequazione "trasformata" rappresenta il primo numero pari naturale) la
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\frac{9}{16})^n&space;\geq&space;\frac{1}{3}) diventa (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{9}{16}&space;\geq&space;\frac{1}{3}) che è vera.

Per n = 2 abbiamo (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{81}{256}&space;\geq&space;\frac{1}{3}) che è falsa. Tenendo conto della considerazione precedente, la diseguaglianza è falsa (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\forall&space;n&space;\geq&space;2).
Quindi possiamo concludere che il termine (http://latex.codecogs.com/gif.latex?4^n&space;&plus;&space;(-3)^{n&plus;1}) è negativo solo per il primo numero pari, ossia 2.
E con questo ho davvero esaurito le idee!   :[Emoticon] PC Asd: :-)| :[Emoticon] Asd: