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LAUREA TRIENNALE (D.M. 270/04) => Elementi di Analisi Matematica, 12 CFU => Topic started by: ira-ct on 21-02-2010, 01:40:21



Title: Sciogliere l'indeterminazione
Post by: ira-ct on 21-02-2010, 01:40:21
Salve a tutti ragazzi, la scorsa prova in itinere è uscito il limite di questa successione, come si supera l'indeterminazione 1^\infty??
\fs{5}lim_{n} (\frac{n^2+3}{n^2-5n})^\log n

ATTENZIONE il logaritmo è log n non log in base n

Grazie


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: AngelEvil on 21-02-2010, 02:13:13
EDIT avevo scritto una soluzione sbagliata.....


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: ɹǝǝuıƃuǝsɹǝʌǝɹ on 21-02-2010, 07:19:29
I limiti si scrivono con:
\lim_{n\rightarrow\infty}\{a_n\}

che produce:
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\rightarrow\infty}\{a_n\})       :-OK


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: Crasher on 21-02-2010, 10:24:21
Ti basta mettere in evidenza sia al numeratore che al denominatore (http://latex.codecogs.com/gif.download?n^{2}) e poi semplifichi


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: elture on 21-02-2010, 10:37:15
Ti basta mettere in evidenza sia al numeratore che al denominatore (http://latex.codecogs.com/gif.download?n^{2}) e poi semplifichi

no, lui si e' scordato che tutto il blocco fra le {} e' elevato al logn  quindi poi viene 1^infinito


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: ira-ct on 21-02-2010, 14:06:13
Ti basta mettere in evidenza sia al numeratore che al denominatore (http://latex.codecogs.com/gif.download?n^{2}) e poi semplifichi

no, lui si e' scordato che tutto il blocco fra le {} e' elevato al logn  quindi poi viene 1^infinito

Esattamente... Modificato il testo anche se ancora con il latex devo prendere un pò di dimestichezza:D


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: Crasher on 21-02-2010, 15:33:42
Ecco. Ora capisco perché ha scritto (http://upload.wikimedia.org/math/a/f/8/af8dc60480ff89e7bbccba17ff11c476.png) .rido

Riscrivo correttamente il limite di partenza:
(http://latex.codecogs.com/gif.download?{\color{blue}&space;\lim_{n\to&space;\infty&space;}\left&space;(&space;\frac{n^{2}+3}{n^{2}-5n}&space;\right&space;)^{\ln&space;n}}&space;=&space;)

Applico la proprietà delle potenze:

(http://latex.codecogs.com/gif.download?=&space;\lim_{n\to&space;\infty&space;}&space;e^{\ln&space;\left&space;(&space;\frac{n^{2}+3}{n^{2}-5n}&space;\right&space;)^{\ln&space;n}}&space;=&space;\lim_{n\to&space;\infty&space;}&space;e^{\ln(n)&space;\ln&space;\left&space;(&space;\frac{n^{2}+3}{n^{2}-5n}&space;\right&space;)}&space;=&space;{\color{red}&space;{*}})


Studiando il limite dell'esponente abbiamo:
(http://latex.codecogs.com/gif.download?\lim_{n\to&space;\infty&space;}&space;\ln(n)&space;\ln&space;\left&space;(&space;\frac{n^{2}+3}{n^{2}-5n}&space;\right&space;)&space;=&space;)


Mettendo in evidenza (http://latex.codecogs.com/gif.download?n^{2}) sia al numeratore che al denominatore...
(http://latex.codecogs.com/gif.download?=&space;\lim_{n\to&space;\infty&space;}&space;\ln(n)&space;\ln&space;\left&space;(&space;\frac{n^{2}\left&space;(&space;1+\frac{3}{n^{2}}&space;\right&space;)}{n^{2}\left&space;(&space;1-\frac{5}{n}&space;\right&space;)}\right&space;)&space;=&space;)

Semplificando e sfruttando la proprietà dei logaritmi abbiamo:
(http://latex.codecogs.com/gif.download?=&space;\lim_{n\to&space;\infty&space;}&space;\ln(n)&space;\left&space;[\ln&space;\left&space;(&space;1+\frac{3}{n^{2}}&space;\right)&space;-&space;\ln&space;\left&space;(&space;1-\frac{5}{n}&space;\right)\right]&space;=&space;)

Applichiamo questo limite notevole:

(http://upload.wikimedia.org/math/4/e/1/4e10ce8599ad6e5d3e4fbf454ede7b58.png)

(http://latex.codecogs.com/gif.download?=&space;\lim_{n\to&space;\infty&space;}&space;\ln(n)&space;\left&space;[\frac{\ln&space;\left&space;(&space;1+\frac{3}{n^{2}}&space;\right)}{\frac{3}{n^{2}}}\frac{3}{n^{2}}&space;-&space;\frac{\ln&space;\left&space;(&space;1-\frac{5}{n}&space;\right)}{-\frac{5}{n}}&space;\left&space;(-\frac{5}{n^{2}}&space;\right&space;)\right]&space;=)

Semplificando resta:

EDIT: corretto errore di calcolo (tnx to Eleirgab)

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\lim_{n\to%20\infty%20}\ln(n)(\frac{3}{n^{2}}-\frac{5}{n})%20=%20\lim_{n\to%20\infty%20}\ln(n)\frac{3-5n}{n^{2}}%20=%20\lim_{n\to%20\infty%20}%20\frac{ln{(n)}}{n}\frac{3-5n}{n}%20=~0~*~(-5)~=~{\color{blue}%200})

Il limite dell'esponente fa 0, quindi il limite di partenza tende a:

(http://latex.codecogs.com/gif.download?{\color{red}*}&space;=&space;e^{0}&space;=)(http://latex.codecogs.com/gif.download?\large&space;\mathbf{{\color{red}&space;1}})

NB. Non ne assicuro la correttezza, ma dovrebbe essere giusto! .rido


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: Daréios89 on 21-02-2010, 15:41:32
Il limite fa 1, non ho molta esperienza in analisi, ma non sembra fare una piega, ben fatto, dà molta soddisfazione aver saputo fare questo limite, io avevo pensato all'inizio di ricondurlo al numero di Nepero, ma forse così è meglio.
Meglio che inizi a imparare la tabella dei limiti notevoli  .whistling
Ma come si fa ad impararli tutti e ricordarli sempre, questo limite non c'è nemmeno nella tabella che ho io  .poverinoi


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: Eleirgab on 21-02-2010, 16:51:44
Si può ricondurre anche al limite di Nepero tramite questi passaggi:

(http://latex.codecogs.com/gif.download?{\color{blue}&space;\lim_{n\to&space;\infty&space;}\left&space;(&space;\frac{n^{2}+3}{n^{2}-5n}&space;\right&space;)^{\ln&space;n}}&space;=&space;) =

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to%20+\infty%20}%20(\frac{n^2-5n+5n+3}{n^2-5n})^\ln{n}) =


(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to%20+\infty%20}%20(1+\frac{5n+3}{n^2-5n})^\ln{n}) =


Visto che
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to%20+\infty%20}%20\frac{5n+3}{n^2-5n}%20=%200)

Possiamo provare a ricondurlo al limite Neperiano tramite qusto passaggio:
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to%20+\infty%20}%20(1+\frac{5n+3}{n^2-5n})^{%20\frac{n^2-5n}{5n+3}%20\frac{5n+3}{n^2-5n}%20\ln{n}%20})


Quindi abbiamo trovato che
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to%20+\infty%20}%20(1+\frac{5n+3}{n^2-5n})^{%20\frac{n^2-5n}{5n+3}%20}%20=%20e^1)

Conentriamoci sul resto dell'esponente, che si trova nella forma indeterminata [0 * inf].
Mettendo a comune 1/n si ottiene
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to%20+\infty%20}%20\frac{\ln{n}}{n}%20\frac{5n+3}{n-5})
Il primo prodotto tende a zero, il secondo a 5, il loro risultato da zero.
Mettendo assieme tutti i pezzi

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to%20+\infty%20}%20(1+\frac{5n+3}{n^2-5n})^{%20\frac{n^2-5n}{5n+3}%20\frac{\ln{%20n%20}%20}{n}%20\frac{5n+3}{n-5}%20}%20=%20e^{1*0*5}%20=%20e^{0}%20=%201)


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: Daréios89 on 21-02-2010, 17:33:49
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to%20+\infty%20}%20(1+\frac{5n+3}{n^2-5n})^{%20\frac{n^2-5n}{5n+3}%20}%20=%20e^1)

Non mi è molto chiaro.....questo è il numero di Nepero?
Qual è la formula su cui ti sei basato?

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x) Non credo

Forse a:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left ( 1+\frac{a}{x} \right )^x=e^a)

Fammi capire dove sbaglio, perchè non vedo il Numero di Nepero...

Non dovrebbe essere:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\to%20+\infty%20}%20(1+\frac{5n+3}{n^2-5n})^{%20\frac{n^2-5n})

Non avremmo potuto scrivere:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left \{ \left [ \left ( 1+\frac{5^n+3}{n^2-5^n} \right )^{n^2-5^n}\right ]^{\frac{logn}{n^2-5n}}\right \})

Certo poi c'è una forma indeterminata però sarebbe corretto?


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: Eleirgab on 21-02-2010, 17:56:10
Ho usato il limite notevole

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{t%20\to%200}%20(1+t)^\frac{1}{t}%20=%20e)

Dove
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?t%20=%20\frac{5n+3}{n^2%20+%205n})

(per questo ho specificato nella 4° immagine del post precedente che la frazione tendesse a zero per n -> inf)

Come dici tu cmq non credo sia sbagliato, solo che il limite del "primo pezzo" non sarebbe e ma
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?e^{5n-3})

E lavorando sugli esponenti si riottiengono gli stessi passaggi fatti nel mio post precedente, anche se il limite
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left%20(%201+\frac{a}{x}%20\right%20)^x=e^a) è da intendersi con a parametro reale, quindi forse sarebbe un pò improprio, sebbene alla fin fine è lo stesso ragionamento.


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: Daréios89 on 21-02-2010, 18:05:34
Mi mancava questo  .rido

MA se è elevato ad 1/t per scriverlo in quel modo lo hai invertito?


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: Eleirgab on 21-02-2010, 18:11:25
MA se è elevato ad 1/t per scriverlo in quel modo lo hai invertito?

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\frac{1}{\frac{5n+3}{n^2+5n}}%20=%20\frac{n^2+5n}{5n+3})


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: Daréios89 on 21-02-2010, 18:16:23
Grazie mpare!


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: Eleirgab on 21-02-2010, 18:35:03
@Crasher
Credo ci sia un piccolo errore nel tuo svolgimento:
(http://latex.codecogs.com/gif.download?=&space;\lim_{n\to&space;\infty&space;}&space;\ln(n)&space;\left&space;[\frac{\ln&space;\left&space;(&space;1+\frac{3}{n^{2}}&space;\right)}{\frac{3}{n^{2}}}\frac{3}{n^{2}}&space;-&space;\frac{\ln&space;\left&space;(&space;1-\frac{5}{n}&space;\right)}{-\frac{5}{n}}&space;\left&space;(-\frac{5}{n^{2}}&space;\right&space;)\right]&space;=)

non è uguale a
(http://latex.codecogs.com/gif.download?=&space;\lim_{n\to&space;\infty&space;}&space;\ln(n)&space;\left&space;(\frac{3}{n^{2}}&space;\right&space;)\left&space;(&space;-\frac{5}{n}&space;\right&space;)&space;=&space;-15&space;\frac{\ln(n)}{n^{3}}&space;=&space;\mathbf{{\color{blue}&space;{0}}})

ma dovrebbe essere uguale a
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\lim_{n\to%20\infty%20}\ln(n)(\frac{3}{n^{2}}-\frac{5}{n})%20=%20\lim_{n\to%20\infty%20}\ln(n)\frac{3-5n}{n^{2}}%20=%20\lim_{n\to%20\infty%20}%20\frac{ln{(n)}}{n}\frac{3-5n}{n}%20=~0~*~(-5)~=~{\color{blue}%200})


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: Daréios89 on 21-02-2010, 18:40:43
E scusa, invece seguendo il mio metodo, io ho trovato:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?e^{5n+3}*\frac{logn}{n^2-5n})

E avrei la forma indeterminata 0*infinito, come toglierla?

Ho provato a scrivere:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?e^{logn}*\frac{5^n+3}{n^2-5n})

Però poi ho trovato come risultato 0, e non va bene.


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: Eleirgab on 21-02-2010, 19:37:43
Tranne "e" devi mettere tutto come esponente, of course
E poi si risolve con gli stessi passaggi usati da me, anche se ti ripeto che dubito della correttezza "formale" della cosa  .penso


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: Crasher on 21-02-2010, 19:39:42
Giusto! Correggo il post!
Tnx  .wink


Title: Re:Sciogliere l'indeterminazione
Post by: Daréios89 on 21-02-2010, 19:42:08
Tranne "e" devi mettere tutto come esponente, of course
E poi si risolve con gli stessi passati usati da me, anche se ti ripeto che dubito della correttezza "formale" della cosa  .penso

Giusto adesso riesce anche a me  .rido
Non mi ero accorto di potere fare quella cosa. Perchè credi sia scorretto, per quel limite che ho usato io dove dici che al numeratore "a" è un parametro solo?

Io l'ho usato tranquillamente perchè se pensi alla forma del limite:

1+(1/n)^n

lì per n non si intende un solo parametro, ma può essere un'intera espressione, sennò quando ti capita di usarlo?
Mai!!!!!!

E la stessa cosa credo che sia per la tipologia usata da me.