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LAUREA TRIENNALE (D.M. 270/04) => Formazione Numerica, 6 CFU => Topic started by: Angelo on 26-12-2008, 11:26:01



Title: Esercizio metodo coeff. indeterminanti
Post by: Angelo on 26-12-2008, 11:26:01
trovare, con il metodo dei coefficienti indeterminati, p(x)=P3, soddisfacente le condizioni:

P(-1)= -6 , p(0)= -3 , p(1)= 0 , p(2)= 15

COME VI RISULTA?

a me: a= -3/4 , b= 0 , c= 15/4 , d= -3


Title: Re:Esercizio metodo coeff. indeterminanti
Post by: mafalda on 07-01-2009, 16:48:18
Io l'ho fatto, non so se è giusto...
a me risulta così:
6x^2 - 3x + 3


Title: Re:Esercizio metodo coeff. indeterminanti
Post by: mafalda on 08-01-2009, 18:32:40
Nessuno gentilmente può aiutarmi???


Title: Re:Esercizio metodo coeff. indeterminanti
Post by: Acicatena86 on 08-01-2009, 19:04:33
Ciao scusa il ritaro  .smile . Comunque a me risulta  2x3+x-3

Che bello 3 soluzioni diverse .doh


Title: Re:Esercizio metodo coeff. indeterminanti
Post by: mafalda on 08-01-2009, 19:41:16
 .penso ...e allora qual'è la soluzione giusta? .bah


Title: Re:Esercizio metodo coeff. indeterminanti
Post by: ɹǝǝuıƃuǝsɹǝʌǝɹ on 09-01-2009, 02:10:54
COME VI RISULTA?

a me: a= -3/4 , b= 0 , c= 15/4 , d= -3
Errato. Per provare che la tua soluzione è sbagliata mi basta considerare p (-1) che nel tuo caso vale 6 (mentre doveva essere -6).
a me risulta così:
6x^2 - 3x + 3
Anche in questo caso è errato. Per provare che la tua soluzione è sbagliata mi basta considerare nuovamente p (-1) che nel tuo caso vale 12 (mentre doveva essere -6).
Ciao scusa il ritaro  .smile . Comunque a me risulta  2x3+x-3
Stavolta i test sui valori di p applicati ai quattro punti non presentano problemi, quindi potremmo essere sulla giusta strada. Per verificarlo, vediamo come calcolare i coefficienti in p.
Innanzitutti notiamo che p deve passare per n=4 punti, di conseguenza il grado di p deve essere n-1=3, cioè p ha le potenze di x fino alla terza.

Bisogna risolvere quindi il seguente sistema espresso in forma matriciale:

  x⁰  x   x²  x³
╭               ╮ ╭   ╮   ╭    ╮
│ 1  -1   1  -1 │ │ a │   │ -6 │
│ 1   0   0   0 │ │ b │ = │ -3 │
│ 1   1   1   1 │ │ c │   │  0 │
│ 1   2   4   8 │ │ d │   │ 15 │
╰               ╯ ╰   ╯   ╰    ╯


Risolviamo il sistema in forma di equazioni ora (a è già noto in partenza, come si vede):

│ a - b + c - d = -6
┤ a = -3
│ a + b + c + d = 0
│ a + 2b + 4c + 8d = 15


Sostituisco a = -3 dalla seconda nelle altre tre:

│ - b + c - d = -6
┤ a = -3
│ + b + c + d = 3
│ + 2b + 4c + 8d = 18


Sommo la terza alla prima e la sostituisco la prima con tale somma:

│ + 2c = 0
┤ a = -3
│ + b + c + d = 3
│ + 2b + 4c + 8d = 18


Divido per 2 la prima (ottenendo il valore di c):

│ c = 0
┤ a = -3
│ + b + c + d = 3
│ + 2b + 4c + 8d = 18


Sostituisco c = 0 appena trovato nelle ultime due:

│ c = 0
┤ a = -3
│ + b + d = 3
│ + 2b + 8d = 18


Moltiplico per -2 la terza:

│ c = 0
┤ a = -3
│ - 2b - 2d = - 6
│ + 2b + 8d = 18


Sommo la quarta e la terza e sostituisco la terza con tale somma:

│ c = 0
┤ a = -3
│ + 6d = 12
│ + 2b + 8d = 18


Divido per 6 la terza (ottenendo il valore di d):

│ c = 0
┤ a = -3
│ d = 2
│ + 2b + 8d = 18


Sostituisco d = 2 nella quarta:

│ c = 0
┤ a = -3
│ d = 2
│ + 2b = 2


Divido per 2 la quarta (ottenendo il valore di b):

│ c = 0
┤ a = -3
│ d = 2
│ b = 1


Alla fine ottengo a = -3, b = 1, c = 0, d = 2, cioè il polinomio p (x) è dato da
p (x) = 2x3 + x - 3

come aveva giustamente risposto Acicatena86.

Ciao .ciaociao.


Title: Re:Esercizio metodo coeff. indeterminanti
Post by: Angelo on 09-01-2009, 10:21:50
reverse, la prossima settimana quando hai 2 minuti di tempo, mi devi dare una dritta su un paio di esercizi.. :D


Title: Re:Esercizio metodo coeff. indeterminanti
Post by: mafalda on 09-01-2009, 14:19:09
Grazie mille reverse...sei stato gentilissimo e chiarissimo... .coolio
 .ciaociao


Title: Re:Esercizio metodo coeff. indeterminanti
Post by: francesco85 on 15-01-2009, 16:06:25
perche il polinomio viene p (x) = 2x^3 + x - 3????il polinomio non dovrebbe essere  p(x)=ax^3+bx^2+cx+d e quindi

p(x)=-3x^3+x^2+2??????


aiutatemiiiiiii


Title: Re:Esercizio metodo coeff. indeterminanti
Post by: Timmy on 20-01-2009, 16:18:20
perche il polinomio viene p (x) = 2x^3 + x - 3????il polinomio non dovrebbe essere  p(x)=ax^3+bx^2+cx+d e quindi

p(x)=-3x^3+x^2+2??????


aiutatemiiiiiii

Anche io penso debba essere così...


Title: Re:Esercizio metodo coeff. indeterminanti
Post by: ɹǝǝuıƃuǝsɹǝʌǝɹ on 21-01-2009, 01:26:32
perche il polinomio viene p (x) = 2x^3 + x - 3????il polinomio non dovrebbe essere  p(x)=ax^3+bx^2+cx+d e quindi

p(x)=-3x^3+x^2+2??????


aiutatemiiiiiii
Errato.
È sufficiente calcolare p (x) su 3 dei 4 valori proposti per vedere che il polinomio da voi descritto non è quello corretto.

Il vostro errore nasce dalla malcompresione di chi sono a, b, c, e d.

Ora vi spiego meglio.
Siano (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) gli n punti per cui deve passare il polinomio da cercare.

L'equazione matriciale in forma generale da risolvere è la seguente:

╭                                         ╮ ╭    ╮   ╭    ╮
│ (x₁)⁰   (x₁)¹   (x₁)²   .....   (x₁)ⁿ⁻¹ │ │ k₁ │   │ y₁ │
│ (x₂)⁰   (x₂)¹   (x₂)²   .....   (x₂)ⁿ⁻¹ │ │ k₂ │ = │ y₂ │
│ .....   .....   .....   .....   ....... | | .. |   | .. |
│ (xn)⁰   (xn)¹   (xn)²   .....   (xn)ⁿ⁻¹ │ │ kn │   │ yn │
╰                                         ╯ ╰    ╯   ╰    ╯

che è equivalente alla risoluzione del seguente sistema:


│ k₁(x₁)⁰ + k₂(x₁)¹ + ... + kn(x₁)ⁿ⁻¹ = y₁
┤ k₁(x₂)⁰ + k₂(x₂)¹ + ... + kn(x₂)ⁿ⁻¹ = y₂
│ ....... + ....... + ... + ......... = ..
│ k₁(xn)⁰ + k₂(xn)¹ + ... + kn(xn)ⁿ⁻¹ = yn



dove si nota chiaramente che a moltiplicare (x1)0 (cioè a moltiplicare 1) è proprio il termine k1, che nel nostro esercizio è a, quindi a è il termine noto, e ha moltiplicare (xn)n-1 (la x di grado massimo) è proprio kn, che nel nostro esercizio è d.
Le lettere a, b, c, d sono rispettivamente i coefficienti di x0, x, x2, x3 in ordine inverso a quello che avete presunto di volere applicare nelle vostre errate osservazioni.

Si deve fare attenzione in questo procedimento perché nel caso in cui una x per cui passa il polinomio fosse proprio il numero 0, in tale caso si deve scrivere 1 nella riga relativa alla posizione per (x)0.


Chiaro ora .smile?


Title: Re:Esercizio metodo coeff. indeterminanti
Post by: Rosa Maria Pidatella on 21-01-2009, 08:29:33
Non ha importanza se si imposta p(x)=ax^3+bx^2+cx+d  oppure p(x)=a+bx^2+cx^2+dx^3.
Infatti il sistema sarà diverso nei due casi e di conseguenza anche i valori di a, b,c,d nei due rispettivi casi. Cercate di non impostare il sistema senza capire da dove è venuto fuori. Capire è l'unico modo per non imparare a memoria e rischiare di fare confusione. Buon lavoro.


Title: Re:Esercizio metodo coeff. indeterminanti
Post by: Timmy on 21-01-2009, 11:28:31
Grazie, ora è tutto più chiaro  :-OK


Title: Re:Esercizio metodo coeff. indeterminanti
Post by: Rosa Maria Pidatella on 21-01-2009, 15:56:07
prego.  .smile