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LAUREA TRIENNALE (D.M. 270/04) => Elementi di Analisi Matematica, 12 CFU => Topic started by: Daréios89 on 25-06-2010, 14:27:41



Title: Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: Daréios89 on 25-06-2010, 14:27:41
Cosa avete fatto per la differenziabilità e la continuità richiesta nel compito per la funzione a due variabili?
Se poteste mettere i calcoli per vedere di quanto mi sono sbagliato  :-)|


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: XDnl on 25-06-2010, 14:45:36
Allora io ho fatto cosi':
f(x,y) è continua in (0, 0) sse (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{(x,y)&space;\to&space;(0,0)}&space;\frac{2x^2&space;-&space;y|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}&space;=&space;0)

Con le restrizioni (ad es. y = |x|, y = x, ecc...) ottieni sempre zero. Per utilizzare il Teorema dei Carabinieri spezzo in due la frazione, studiando separatamente i limiti:
  • \fs{5}\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}
  • \fs{5}\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{y|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}

Per il primo limite ho utilizzato la seguente maggiorazione:
\fs{5}0 \leq \frac{2x^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq \frac{2x^2}{\sqrt{x^2}}\;\;\;\;\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2
Poichè il limite della frazione maggiorante è zero, posso concludere che il primo pezzo del limite originale vale zero.

Per il secondo limite non si puo' utilizzare direttamente il Teorema dei carabinieri, essendo il numeratore a segno variabile. Però, in generale si ha:
\fs{5}\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0 \Leftrightarrow \lim_{(x,y)\to(0,0)} |f(x,y)| = 0
Per cui, facendo il valore assoluto del secondo limite ottengo la seguente espressione:
\fs{5}\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}

che risolvo con la maggiorazione
\fs{5}0 \leq \frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq \frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\;\;\;\;\;\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2
Poichè il limite della funzione maggiorante è zero, allora anche questo secondo pezzo del limite originale converge a zero.
Da questo posso dire che il limite originale, essendo differenza di due funzioni convergenti a zero, converge a zero (ergo la funzione è continua nell'origine).
Per lo studio della differenziabilità basta osservare che la funzione non è derivabile parzialmente rispetto alla x in (0,0), per cui non è nemmeno ivi differenziabile.

P.S: Ovviamente nelle maggiorazioni è da escludere il punto (0, 0) che annulla il denominatore.


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: esteta84 on 25-06-2010, 15:22:26
bah... non ho mai capito perchè a lezione si risolvono esercizi semplici e nei compiti c'è sempre fantascienza.
Secondo un mio parere il compito era eccessivamente complesso. Ero sicuro di potercela fare eppure me ne sono andato a casa demoralizzato.


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: XDnl on 25-06-2010, 17:00:04
bah... non ho mai capito perchè a lezione si risolvono esercizi semplici e nei compiti c'è sempre fantascienza.
Beh, tieni conto che molto probabilmente c'è un modo più semplice di risolvere l'esercizio... io l'ho fatto in quel modo...


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: cock86 on 25-06-2010, 18:13:35
bah... non ho mai capito perchè a lezione si risolvono esercizi semplici e nei compiti c'è sempre fantascienza.
Secondo un mio parere il compito era eccessivamente complesso.
onestamente non sono d'accordo! trovo che gli esercizi fossero molto simili hai compiti passati! e per tanto non così eccessivamente complessi... ma è un mio parere!


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: esteta84 on 26-06-2010, 08:18:20
io ho fatto tutti i compiti dell'anno precedente e nel caso peggiore non riuscivo a fare 2 esercizi su 5 o 6.
Ieri sono riuscito a completare solo lo studio di funzione, la scomposizione della frazione della funzione a due variabili non era per nulla intuitiva o simile a quelle messe nei compiti dello scorso anno e nemmeno a quelli svolti in aula. L'ultimo limite sarà facile si, ma nn l'ho saputo fare, di integrale ne ho svolto solo 1 su 2, e lo studio della serie nn l'ho saputo fare. Sarà un mio problema lo so...


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: cock86 on 26-06-2010, 09:56:27
hugh... aspe! io ho visto quelli di Analitica II e mi riferivo a quelli, effettivamente non so gli altri com'erano. Però quelli mi sembravano molto simili agli esami degli anni passati.


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: XDnl on 26-06-2010, 10:29:19
Avevi questi esercizi (tra gli altri)?:

  • \fs{7}\int \frac{e^x+1}{e^{2x}+4} dx, \fs{7}\int \frac{\sin{2x}}{2+\cos^2{x}} dx
  • Data la funzione
    \fs{7}f(x,y) = \left\{\begin{matrix}\frac{2x^2-y|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}\;\;\;\;per\;\;(x,y)\neq (0,0) & \\0 \;\;\;\;per\;\;(x,y) = (0,0) & \end{matrix}\right.
    Studiarne la continuità e differenziabilità in (0, 0).


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: cock86 on 26-06-2010, 11:03:23
a chi ti riferisci? a me o esteta? io ho fatto esame con la Cilia.


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: Zaibach on 26-06-2010, 13:39:29
Pardon ma perchè la funzione non dovrebbe essere derivabile parzialmente rispetto alla x in (0,0)??
La f(x,0) è 2x ad ogni x reale (perchè è 2x se x è diverso da 0, ed è 0 se x=0) e quindi la sua derivata è 2 ad ogni x reale (e quindi anche nel punto 0,0)...   o mi sbaglio?  

Cmq alla fine studiando la differenziabilità cn la definizione risultava che il limite di h,k... non era uguale a 0 (studiandolo con le restrizioni E alla funzione relativa) e quindi la funzione non era differenziabile in (0,0)...


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: XDnl on 26-06-2010, 13:49:39
@Cock86: Mi riferivo ad esteta, io sono del corso A-L (ho fatto pero' la prova in itinere, non il compito completo)

Pardon ma perchè la funzione non dovrebbe essere derivabile parzialmente rispetto alla x??? La f(x,0) è 2x ad ogni x reale (perchè è 2x se x è diverso da 0, ed è 0 se x=0) e quindi la sua derivata è 2 ad ogni x reale (e quindi anche nel punto 0,0)...   o mi sbaglio? 
Cmq alla fine studiando la differenziabilità cn la definizione risultava che il limite di h,k... non era uguale a 0 (studiandolo con le restrizioni E alla funzione relativa) e quindi la funzione non era differenziabile in (0,0)...
Ho fatto così:
\fs{5}f(x, y) = \frac{2x^2-y|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} \Rightarrow f(x, 0) = \left\{\begin{matrix}\frac{2x^2}{\sqrt{x^2}} = 2 \sqrt{x^2} = 2|x| \;\;\;\forall x \in \mathbb{R}, x \neq 0\\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;per\;\;x = 0\end{matrix}\right.
Quindi non esiste la derivata di f(x, 0) per x = 0, ossia f(x, y) non è derivabile parzialmente rispetto alla x in (0, 0).


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: Zaibach on 26-06-2010, 15:00:30
Uff si hai ragione, che errore ###@@ che ho fatto nel compito ... ho semplificato il valore assoluto di x al denominatore con il quadro della x al numeratore e mi è rimasto 2x invece rimane 2 valore assoluto di x... bo speriamo bene perlomeno i procedimenti sono giusti T_T


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: Daréios89 on 26-06-2010, 17:12:46
Mh bene, sulla continuità ci siamo, davvero elegante  :-OK

Per la differenziabilità quindi se una funzione è differenziabile rispetto a x la derivata deve essere un qualunque valore diverso da 0?
Sul momento non capisco perchè dato che per x=0 la derivata vale 0, non è derivabile parzialmente, perchè la derivata parziale non può essere 0?

P.S...la derivata parziale comunque non si indica in quel modo vero?


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: XDnl on 26-06-2010, 18:14:58
Mh bene, sulla continuità ci siamo, davvero elegante  :-OK
:-OK
Per la differenziabilità quindi se una funzione è differenziabile rispetto a x la derivata deve essere un qualunque valore diverso da 0?
.penso
Se una funzione è differenziabile in P0, allora deve avere entrambe le derivate parziali prime in P0 (con qualsiasi valore, basta che esistano).
Ovviamente non vale il converso.

Sul momento non capisco perchè dato che per x=0 la derivata vale 0, non è derivabile parzialmente, perchè la derivata parziale non può essere 0?
Nel post sopra ho scritto che la funzione non è derivabile parzialmente rispetto ad x in (0, 0).
Non ho detto che vale zero; la derivata (rispetto ad x) non esiste in quel punto.
Questo perchè essendo
\fs{5}f_x(0,0) = D[f(x, 0)]_{x=0}
da cui la derivata
\fs{5}D[f(x, 0)]_{x=0} = D[2|x|]_{x=0}
che non esiste.  .sisi


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: Daréios89 on 26-06-2010, 18:54:12
Mh...ma se calcolando risulta 2|x|. Per x=0 abbiamo scritto diventa 0.
Quindi perchè non è derivabile?

O forse...siccome noi partiamo dal calcolarla per x=0, e troviamo come derivata 2|x| che non è unica perchè dipende da x, non esiste perchè la derivata deve essere unica e invece per x=0 avrei come come derivata:

2|x| oppure 0 in base ad x, quindi non essendo unica non esiste?


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: Zaibach on 28-06-2010, 18:17:39
No è semplicemente dovuto al fatto che la funzione a una variabile "valore assoluto di x" non è derivabile nel punto 0... questo l'abbiamo visto tra i primi esempi di derivate dopo averle definite e fatto il teorema sulla c.n. per la derivabilità che è la continuità.
Infatti se provi a calcolare la derivata destra e sinistra nel punto 0 di questa funzione col limite destro e sinistro del rapporto incrementale ti viene -1 e 1 che non sono uguali quindi la derivata non esiste.
Nel punto 0 in questo caso vi è un punto angoloso perchè esistono le derivate laterali ma sono diverse.


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: Daréios89 on 28-06-2010, 19:29:13
Ah già ovviamente, ti ringrazio tanto  :-ciao


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: Zaibach on 28-06-2010, 20:06:04
Di nulla   :boh  felice di esserti stato d'aiuto e avanti tutta per la vittoria finale  :yoh


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: Daréios89 on 28-06-2010, 20:17:13
Di nulla   :boh  felice di esserti stato d'aiuto e avanti tutta per la vittoria finale  :yoh

 :yoh


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: CollegaCaparezza on 09-07-2010, 17:31:36
Scusatemi ma mi è capitato tra le mani un esercizio simile e vorrei sapere se il ragionamento che ho fatto è giusto. La funzione è:

(x^2+y^4)/(|x|+y^2)

ora le restrizioni sono tutte uguale a 0 allora suddivido la funzioni in due parti che sono praticamente
  • x^2/(|x|+y^2)
  • x^4/(|x|+y^2)
applicando il teorema dei carabinieri a entrambe le funzioni mi risulta che tutt'e due tendono a 0 e quindi posso dire che la funzione è continua in tutto R2.
L'esercizio poi mi chiede se esistono le fx(0,0) e fy(0,0). Dopo aver calcolato le derivate parziali della seguente funzione che devo fare??
Vi ringrazio in anticipo  :pray :pray :pray


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: sanevir on 09-07-2010, 17:46:03
Scusatemi ma mi è capitato tra le mani un esercizio simile e vorrei sapere se il ragionamento che ho fatto è giusto. La funzione è:

(x^2+y^4)/(|x|+y^2)

ora le restrizioni sono tutte uguale a 0 allora suddivido la funzioni in due parti che sono praticamente
  • x^2/(|x|+y^2)
  • x^4/(|x|+y^2)
applicando il teorema dei carabinieri a entrambe le funzioni mi risulta che tutt'e due tendono a 0 e quindi posso dire che la funzione è continua in tutto R2.
L'esercizio poi mi chiede se esistono le fx(0,0) e fy(0,0). Dopo aver calcolato le derivate parziali della seguente funzione che devo fare??
Vi ringrazio in anticipo  :pray :pray :pray

devi verificare se esistono i seguenti limiti:

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x,0) - f(0,0)}{x-0}

\lim_{y \rightarrow 0} \frac{f(0,y) - f(0,0)}{0-y}

che equivale a calcolare le derivate parziali ma in questo caso usi la definizione


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: Daréios89 on 09-07-2010, 18:42:21
Quote
ora le restrizioni sono tutte uguale a 0 allora suddivido la funzioni in due parti che sono praticamente

Non ho ben capito come hai considerato queste restrizioni......

Io avrei pensato, ma temo come al solito di sbagliare sempre; di potere separare la frazione e applicare come volevi fare tu il teorema del confronto:

\frac{x^2+y^4}{|x|+y^2}

La prima parte:

0<\frac{x^2}{|x|+y^2}<x^2

La seconda

0<\frac{y^4}{|x|+y^2<y^4<y^4

Per il teorema dei carabinieri dovrebbero tendere a 0, ma non sono sicurissimo...

Quote
L'esercizio poi mi chiede se esistono le fx(0,0) e fy(0,0). Dopo aver calcolato le derivate parziali della seguente funzione che devo fare??

Hai finito  :boh

Il problema è che l'esercizio dirà che questa funzione ha una legge di definizione, e precisamente quella su cui abbiamo verificato la continuità, quando (x,y)\neq 0 altrimenti vale 0.

Allora l'unico modo per scoprire se esistono le derivate parziali è usare la definizione come ti è stato suggerito.


\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x,0) - f(0,0)}{x-0}

\lim_{y \rightarrow 0} \frac{f(0,y) - f(0,0)}{0-y}


P.S. Le derivate parziali rispetto ad x e y non mi coincidono.

Forse non esistono.


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: CollegaCaparezza on 10-07-2010, 10:42:37

devi verificare se esistono i seguenti limiti:

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x,0) - f(0,0)}{x-0}

\lim_{y \rightarrow 0} \frac{f(0,y) - f(0,0)}{0-y}

che equivale a calcolare le derivate parziali ma in questo caso usi la definizione

scusami ma come ci comportiamo con il valore assoluto considerando che la funzione è:
\frac{x^2 + y^4 }{|x| + y^2}
pongo la funzione maggiore di 0 oppure dico semplicemente che la funzione in fx non è derivabile??


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: cock86 on 10-07-2010, 10:55:44
caro CollegaCaparezza se ho ben capito il vostro problema ti do una brutta notizia. In questi casi si fa una di quele cose che piace poco a voi studenti (  .whistling voi ahah sognavo di dirlo da una vita comunque): per la derivata parziale in x bisogna fare il limite destro (e questo significa togliere il valore assoluto, e considerare x) e il limite sinistro (e questo significa togliere il valore assoluto e considerare -x). Se i due limiti sono finiti e coincidono, possiamo dire che è derivabile parzialmente in x inoltre se il valore del limite è uguale ad f(x_0) \ nel \ nostro \ caso f(0)=0 possiamo anche dire che la derivata è continua (utile nel calcolo della differenziabilità - vd. teorema del calcolo differenziale).
Mentre per la derivata parziale in y facciamo soltanto il limite tanto |x| va a 0. Se è finito allora è derivabile in x (e vd. sopra per la continuità).


Title: Re:Funzione di oggi, compito [A-L]
Post by: Daréios89 on 10-07-2010, 12:17:09
Azz...avevo dimenticato.

Allora a me risulta che non sia derivabile in x, mentre in y si.

Se qualcuno potesse confermare o smentire mi farebbe cosa gradita  :-OK