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LAUREA TRIENNALE (D.M. 270/04) => Elementi di Analisi Matematica, 12 CFU => Topic started by: Daréios89 on 08-07-2010, 17:00:50



Title: Funzione a due variabili
Post by: Daréios89 on 08-07-2010, 17:00:50
xy^2log\sqrt{x^2+y^4}

Vale questa se (x,y)\neq 0 altrimenti vale 0.

Devo verificare se è continua in (0,0)

e se esistono le derivate parziali prime in quel punto.

Per la continuità, credo non lo sia, ho pensato che:

xy^2log\sqrt{x^2+y^4}<log\sqrt{x^2+y^4}

La seconda quantità dovrebbe tendere a -\infty quindi per il 3° teorema del confronto il limite di partenza diverge.

Ora mi chiede per le funzioni ad una variabile se la funzione non è continua non è derivabile in un punto, qui mi pare non posso dire lo stesso, devo verificare tramite definizione che esistano le derivate parziali?

Ad occhio e croce per x dovrebbe essere:

\lim_{x \to x0 }\frac{f(x,y0)-f(x0,y0)}{x-x0}

Che praticamente fa 0, e anche per y. Quindi le derivate sono entrambe 0.

P.S Le derivate dovrebbero essere continue perchè coincidono con il valore che la funzione assume nel punto?


Title: Re:Funzione a due variabili
Post by: thedog on 09-07-2010, 12:18:26
xy^2log\sqrt{x^2+y^4}

Vale questa se (x,y)\neq 0 altrimenti vale 0.

Devo verificare se è continua in (0,0)

e se esistono le derivate parziali prime in quel punto.

Per la continuità, credo non lo sia, ho pensato che:

xy^2log\sqrt{x^2+y^4}<log\sqrt{x^2+y^4}

La seconda quantità dovrebbe tendere a -\infty quindi per il 3° teorema del confronto il limite di partenza diverge.

scusa la curiosità ma la seconda equazione è minore della prima o sbaglio??perchè hai messo chè è maggiore dell'iniziale???


Title: Re:Funzione a due variabili
Post by: cock86 on 09-07-2010, 12:42:08
suca la curiosità ma la seconda equazione è minore della prima o sbaglio??perchè hai messo chè è maggiore dell'iniziale???
che parole sono ? ahah correggi...
Però ha ragione.
potremmo scrivere:
xy^2log\sqrt{x^2+y^4}<|x|y^2 \sqrt{x^2+y^4}

il secondo membro tende a 0 quindi per il primo teorema del confronto tende a 0 anche il primo membro, e la funzione sarebbe continua.
attenzione! (senza il valore assoluto la disuguaglianza sarebbe sbagliata)

Però questo mi servirebbe come dimostrazione.
Mi viene la restrizione x=y indeterminata come 0 (-inf) e non riesco a risolverla. Se riesco a provare che essa faccia 0 allora è continua.

Per quanto riguarda la derivabilità, devi calcolare il limite che tu hai scritto, se esiste ed è finito allora è derivabile parzialmente.


Title: Re:Funzione a due variabili
Post by: thedog on 09-07-2010, 13:39:13
ops che gaff cmq coretto... cmq ho io ho provato con le coordinate polari e mi viene in forma indeterminata 0 *-inf ,
ma se consideri

xy^2log\sqrt{x^2+y^4}>log\sqrt{x^2+y^4}

se nn erro per il teorema del confronto se la minorante è divergente anche la maggiorante è divergente quindi essendo che è diverso da 0 la funzione nn dovrebbe esser continua nel ponto(0,0)...
Spero di non aver detto eresie  .whistling


Title: Re:Funzione a due variabili
Post by: cock86 on 09-07-2010, 15:27:02
ma la minorante va a -inf. Quindi il confronto non vale...
Comunque con le restrizioni x=0, ed y=0, trovo facilmente che il limite sia zero. Poi trovo una maggiorazione di
|f(x,y)-0| che tenda a zero (ed è quella di prima) allora il limite della nostra funzione possiamo dire che è 0. Essendo il valore di f(0,0) dalla condiziona iniziale (l'hai dedotto tu o era il testo??) la funzione è continua.


Title: Re:Funzione a due variabili
Post by: sanevir on 09-07-2010, 16:24:18
Ho provato a risolvere il limite ma ho il dubbio che abbia inventato una nuova regola sui logaritmi, ecco il mio procedimento:

xy^2 \ln \sqrt{x^2+y^4} = \frac {xy^2 \ln (x^2+y^4)}{2} = \frac {\ln (x^2+y^4)^{xy^2}}{2}

e quindi per x,y tendenti a 0 tende a 0 tutta la funzione.


Title: Re:Funzione a due variabili
Post by: cock86 on 09-07-2010, 16:54:07
arguti i passaggi!!! ma non mi sembra ti porti lontano... non è ancora una forma indeterminata del tipo 0^0? Oppure sono io che non vedo la soluzione?
Comunque il limite di una funzione a due variabili e l se per ogni restrizione vale l. Potete cercare il limite di una o più restrizioni (consigliate x=0,y=0,y=x,y=x^2), se sono diversi allora il limite non esiste, se già dopo due o tre vedete che sono uguali allora tentate di dimostrare che il limite è l. Cioè |f(x)-l| quindi provate a maggiorare questa con una funzione che notevolmente tenda a zero. Siccome è sicuramente maggiore di zero per il valore assoluto, e schiacciata a zero da una funzione maggiorante, anche essa tenderà a zero.

Ovviamente quest'ultima considerazione vale per l = 0.


Title: Re:Funzione a due variabili
Post by: sanevir on 09-07-2010, 17:03:41
Diamine!!
non ricordavo che 0^0 fosse una forma indeterminata!!  :-)|


Title: Re:Funzione a due variabili
Post by: Daréios89 on 09-07-2010, 18:30:54
Quote
attenzione! (senza il valore assoluto la disuguaglianza sarebbe sbagliata)

Perchè?


Title: Re:Funzione a due variabili
Post by: cock86 on 09-07-2010, 21:20:57
perchè x potrebbe essere negativo. Quindi sarebbe una funzione più grande ma col segno meno davanti quindi più piccola.


Title: Re:Funzione a due variabili
Post by: Daréios89 on 09-07-2010, 21:26:22
E invece non c'è bisogno di scrivere:

|x|y^2log\sqrt{x^2+y^4}<|x|y^2 \sqrt{x^2+y^4}

Tanto con o senza valore assoluto la funzione dovrebbe essere più piccola rispetto all'altra a destra, sia che la x sia positiva che negativa perchè vi è un logaritmo a moltiplicare e sarà sempre più piccola dell'altra.


Title: Re:Funzione a due variabili
Post by: cock86 on 10-07-2010, 09:58:00
abbiamo un PRODOTTO di tre fattori y^2 e \sqrt{x^2+y^4} sicuramente positivi, mentre x non abbiamo certezza sul segno, quindi potrebbe anche essere negativo. Allora il segno è determinato proprio da quest'ultimo.
Ti ricordo inoltre che: siano due espressioni A e B con A > B, allora -A < -B.

Se ancora non ti convince, se noi diciamo che 4*8*log 32 < 4*8*32 (160<1024) non possiamo di certo dire che -4*8*log 32 < -4*8*32 (-160<-1024). Ovviamente ho preso un espressione che somigliasse molto alla nostra per rendere meglio l'idea. Spero ti sia chiaro adesso.

Quel valore assoluto è fondamentale per poter scrivere quella diseguaglianza. Inoltre ti ricordo che noi dobbiamo verificare |f(x)-l| che è in valore assoluto, che quindi ci portiamo nelle espressioni interne che non sono sicuramente positive.


Title: Re:Funzione a due variabili
Post by: Daréios89 on 10-07-2010, 10:36:32
AAAh, ok ok, allora deve essere per forza così:

Se A e B sono tali che A>B e -A<-B allora è esatto, grazie mille.  :pray


Title: Re:Funzione a due variabili
Post by: cock86 on 10-07-2010, 10:57:43
Quote
Se A e B sono tali che A>B e -A<-B allora è esatto
Già... purtroppo per noi vale sempre.  :[Emoticon] Asd: ma non è poi così difficile!!!
Figurati è stato un piacere esserti d'aiuto. Ti dovevo pure un favore  :pray