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Author Topic: help limite  (Read 4429 times)
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turì
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« on: 08-02-2011, 14:13:35 »

\lim_{n\to \infty} (\frac{n!}{n!-2^{n}})^{\frac{n!}{n^{2}-2^{n}}}

il limite si risolve riconducendo alla forma di e elevato al logaritmo etc etc

il problema è che non ricordo come eliminare la forma indeterminata

se mi potete dare una mano
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Daréios89
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La musica è la forma d'arte suprema.


« Reply #1 on: 08-02-2011, 14:43:01 »

Io lo ricondurrei al limite notevole:

(1+\frac{1}{n})^n=e
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"Utilizzare sempre de l'Hôpital.....è come andare a caccia di farfalle con un bazooka".
thedog
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« Reply #2 on: 08-02-2011, 21:40:55 »

\lim_{n\to \infty} (\frac{n!}{n!-2^{n}})^{\frac{n!}log{n^{2}-2^{n}}}

il limite si risolve riconducendo alla forma di e elevato al logaritmo etc etc

il problema è che non ricordo come eliminare la forma indeterminata

se mi potete dare una mano

allora se nn ricordo male è faccio giusto viene e^{\lim_{n\to \infty} \frac{n!}{n^{2}-2^{n}}log (\frac{n!}{n!-2^{n}})

dal quale svolgendo il limite viene :

\lim_{n\to \infty} \frac{n!}{n^{2}-2^{n}} dovrebbe essere =\infty essendo numeratore di grado superiore del denominatore e

\lim_{n\to \infty} log (\frac{n!}{n!-2^{n}})dove uso la proprieta dei limite e viene =

log\lim_{n\to \infty}(\frac{n!}{n!-2^{n}}) dove protrei dividere e moliplicare tutto per n! e viene :

log\lim_{n\to \infty}(\frac{\frac{n!}{n!}}{\frac{n!}{n!}-\frac{2^{n}}{n!}}{n!}) che è uguale a :

log\lim_{n\to \infty}(\frac{1}{1-\frac{2^{n}}{n!}}{n!})

dove\lim_{n\to \infty}(\frac{2^{n}}{n!})=0 essendo nominatore grado inferiore del denominatore quindi  risulta

log\lim_{n\to \infty}(\frac{1}{1-0}{n!})che dovrebbe essere =\infty

quindi il tutto risulta
e^{\infty} ovvero \infty

spero di nn aver fatto strafalcioni   boh
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turì
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« Reply #3 on: 08-02-2011, 22:40:09 »

sicuro che la funzione fattoriale sia di grado superiore all'esponenziale?

forse nel caso della base 2 il fattoriale risulta di ordine superiore...

oggi mi è capitato un esercizio in cui risultava che l'esponenziale è di ordine superiore
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thomas89
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« Reply #4 on: 08-02-2011, 23:44:54 »


allora se nn ricordo male è faccio giusto viene e^{\lim_{n\to \infty} \frac{n!}{n^{2}-2^{n}}log (\frac{n!}{n!-2^{n}})

dal quale svolgendo il limite viene :

\lim_{n\to \infty} \frac{n!}{n^{2}-2^{n}} dovrebbe essere =\infty essendo numeratore di grado superiore del denominatore e

\lim_{n\to \infty} log (\frac{n!}{n!-2^{n}})dove uso la proprieta dei limite e viene =

log\lim_{n\to \infty}(\frac{n!}{n!-2^{n}}) dove protrei dividere e moliplicare tutto per n! e viene :

log\lim_{n\to \infty}(\frac{\frac{n!}{n!}}{\frac{n!}{n!}-\frac{2^{n}}{n!}}{n!}) che è uguale a :

log\lim_{n\to \infty}(\frac{1}{1-\frac{2^{n}}{n!}}{n!})

dove\lim_{n\to \infty}(\frac{2^{n}}{n!})=0 essendo nominatore grado inferiore del denominatore quindi  risulta

log\lim_{n\to \infty}(\frac{1}{1-0}{n!})che dovrebbe essere =\infty

quindi il tutto risulta
e^{\infty} ovvero \infty

spero di nn aver fatto strafalcioni   boh

Scusami ma se non mi sbaglio il quarto passaggio dovrebbe essere errato..
al posto di moltiplicare e dividere per n! (ed è il modo in cui l'hai fatto che mi sembra errato), si poteva direttamente raccogliere al denominatore per n!, e sarebbe venuto così:
\log_e[\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{n!}{n!(1-\frac{2^n}{n!})}}]

poi semplifichi n! sopra e sotto e ti viene:

\log_e[\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{1}{1-\frac{2^n}{n!}}}]

poi abbiamo detto che : \frac{2^n}{n!}->0

e il tutto viene 1, e non +\infty come avevi scritto..
spero di non sbagliarmi per quanto scritto  ok

il fatto è che poi l'argomento del logaritmo viene 1, e così il log farebbe 0..
« Last Edit: 08-02-2011, 23:47:56 by thomas89 » Logged

Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità umana, ma riguardo l'universo ho ancora dei dubbi.
Daréios89
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« Reply #5 on: 09-02-2011, 00:19:15 »

Ma per caso....sappiamo quanto deve risultare con certezza questo limite?
A me dopo una lunga serie di calcoli, risulta e.
Potrei sbagliarmi, ma per caso sapete quale sia il risultato corretto?
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thedog
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« Reply #6 on: 09-02-2011, 07:34:19 »


allora se nn ricordo male è faccio giusto viene e^{\lim_{n\to \infty} \frac{n!}{n^{2}-2^{n}}log (\frac{n!}{n!-2^{n}})

dal quale svolgendo il limite viene :

\lim_{n\to \infty} \frac{n!}{n^{2}-2^{n}} dovrebbe essere =\infty essendo numeratore di grado superiore del denominatore e

\lim_{n\to \infty} log (\frac{n!}{n!-2^{n}})dove uso la proprieta dei limite e viene =

log\lim_{n\to \infty}(\frac{n!}{n!-2^{n}}) dove protrei dividere e moliplicare tutto per n! e viene :

log\lim_{n\to \infty}(\frac{\frac{n!}{n!}}{\frac{n!}{n!}-\frac{2^{n}}{n!}}{n!}) che è uguale a :

log\lim_{n\to \infty}(\frac{1}{1-\frac{2^{n}}{n!}}{n!})

dove\lim_{n\to \infty}(\frac{2^{n}}{n!})=0 essendo nominatore grado inferiore del denominatore quindi  risulta

log\lim_{n\to \infty}(\frac{1}{1-0}{n!})che dovrebbe essere =\infty

quindi il tutto risulta
e^{\infty} ovvero \infty

spero di nn aver fatto strafalcioni   boh

Scusami ma se non mi sbaglio il quarto passaggio dovrebbe essere errato..
al posto di moltiplicare e dividere per n! (ed è il modo in cui l'hai fatto che mi sembra errato), si poteva direttamente raccogliere al denominatore per n!, e sarebbe venuto così:
\log_e[\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{n!}{n!(1-\frac{2^n}{n!})}}]

poi semplifichi n! sopra e sotto e ti viene:

\log_e[\lim_{x\rightarrow +\infty}{\frac{1}{1-\frac{2^n}{n!}}}]

poi abbiamo detto che : \frac{2^n}{n!}->0

e il tutto viene 1, e non +\infty come avevi scritto..
spero di non sbagliarmi per quanto scritto  ok

il fatto è che poi l'argomento del logaritmo viene 1, e così il log farebbe 0..

ehm si confermo ho sbaglito ehm be si facendo 1 il log(1)=0 e cosi cadremmo in forma indeterminata infinito per zero mmmmm
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thomas89
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« Reply #7 on: 09-02-2011, 09:16:38 »

Io prima mi sono lavorato la base che tende ad uno.. e poi mi sn lavorato l'altezza che dovrebbe darmi -infinito.. ma dove sono arrivato non so se dire che c'è una forma indeterminata oppure semplicemente che 1^-^\infty mi da 1..
« Last Edit: 09-02-2011, 09:18:55 by thomas89 » Logged

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« Reply #8 on: 09-02-2011, 10:55:32 »

Secondo me ci dobbiamo ricondurre alla forma :

[(1+\frac{1}{Xn})^{Xn}]^{{\frac{n!}{(n^{2}-2^{n})Xn}}

Per fare ciò cerchiamo Xn per cui :

 {\frac{n!}{n!-2^{n}}=(\frac{1}{Xn}+1)

ovvero avremo portando 1 al 1° membro:

 {\frac{2^n}{n!-2^{n}}=\frac{1}{Xn}

Possiamo adesso andare a sostituire nella forma detta in precedenza :


\lim_{n\to \infty}[(1+\frac{2^n}{n!-2^{n}})^{\frac{2^n}{n!-2^{n}}}]^{{\frac{n!}{n^{2}-2^{n}}\frac{2^n}{n!-2^{n}}}

Adesso sappiamo che :

\lim_{n\to \infty}[(1+\frac{2^n}{n!-2^{n}})^{\frac{2^n}{n!-2^{n}}}] è un limite notevole infatti :

\lim_{n\to \infty}[(1+\frac{2^n}{n!-2^{n}})^{\frac{2^n}{n!-2^{n}}}]= e

Quindi avremo \lim_{n\to \infty}e ^ {{\frac{n!}{n^{2}-2^{n}}\frac{2^n}{n!-2^{n}}}

e ragruppando l'esponente per n! avremo che :

\lim_{n\to \infty}e ^ {{\frac{n!}{n^{2}-2^{n}}\frac{2^n}{n!-2^{n}}}= \lim_{n\to \infty}e ^ {-1}=e^{-1}
 

Che fatica! ma penso sia giusto  ok
« Last Edit: 09-02-2011, 10:59:30 by Jad1 » Logged
thomas89
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« Reply #9 on: 09-02-2011, 12:40:16 »

ahah scusatemi, sembro l'uccello del malaugurio ma anche qui avrei qualcosa da obiettare.. (come al solito spero di sbagliarmi..)..
Possiamo adesso andare a sostituire nella forma detta in precedenza :


\lim_{n\to \infty}[(1+\frac{2^n}{n!-2^{n}})^{\frac{2^n}{n!-2^{n}}}]^{{\frac{n!}{n^{2}-2^{n}}\frac{2^n}{n!-2^{n}}}


anche qua mi sembra che sia errato.. per riuscire a non "alterare" la funzione inziale dobbiamo comportarci in tal senso con dei stratagemmi, del tipo sommare (+1-1) oppure moltiplicare e dividere per la stessa quantità.. gli esponenti che vedo però non mi convincono in quanto, \frac{n!}{n^{2}-2^{n}} è l'esponente della funzione e qui niente da dire, ma \frac{2^n}{n!-2^{n}} è stato aggiunto 2 volte.. l'errore dovrebbe star qui in quanto non hai moltiplicato e diviso per la stessa quantità, ma hai aggiunto 2 volte una stessa quantità, alterando quindi la funzione... si doveva moltiplicare e dividere per \frac{2^n}{n!-2^{n}} e quindi:

(\frac{2^n}{n!-2^{n}})(\frac{n!-2^{n}}{2^n})... dovrebbe essere questo l'esponente da mettere..
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Jad1
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« Reply #10 on: 09-02-2011, 13:00:24 »

Ma guarda che io non devo moltiplicare o dividere nulla per la stessa quantità stò semplicemente applicando il limite notevole
infatti se guardi con attenzione la formula che ho scritto del limite notevole ti accorgi che dopo le parentesi quadre avremo che l'esponente della funzione originale va a dividere cio che nell limite notevole è Xn e dato che l'esponente ha numeratore e denominatore Xn si v a moltiplicare con l'esponente..ma non ho duplicato niente..sto semplicemente usando il limite notevole e non ho effettuato nessuna (se cosi si puo dire) ''razionalizzazione'' !
 
« Last Edit: 09-02-2011, 13:07:03 by Jad1 » Logged
thomas89
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« Reply #11 on: 09-02-2011, 13:17:41 »

Mmm nn ho ben capito, comunque quello che volevo dire prima era che è un'opzione esatta ricondurci al limite notevole:

[(1+\frac{1}{Xn})^{Xn}]^{{\frac{n!}{(n^{2}-2^{n})Xn}}

però credevo che scrivendolo doveva venire così:

\lim_{n\to \infty}[(1+\frac{2^n}{n!-2^{n}})^{\frac{n!-2^{n}}{2^n}}]^{{\frac{n!}{n^{2}-2^{n}}\frac{2^n}{n!-2^{n}}}

in questo modo si ha il limite notevole che tente ad e.. e poi il lavoro cn gli esponenti è giusto in quanto fa -1.

e non: \lim_{n\to \infty}[(1+\frac{2^n}{n!-2^{n}})^{\frac{2^n}{n!-2^{n}}}]^{{\frac{n!}{n^{2}-2^{n}}\frac{2^n}{n!-2^{n}}}

« Last Edit: 09-02-2011, 13:44:32 by thomas89 » Logged

Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità umana, ma riguardo l'universo ho ancora dei dubbi.
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« Reply #12 on: 09-02-2011, 13:50:11 »

Hai ragione! nel senso che ho sbagliato a scrivere la formula iniziale del limite notevole..anche se il resto dei passaggi sono esatti infatti la formula corretta è:

[(1+\frac{1}{Xn})^{Xn}]^{\frac{\frac{n!}{n^{2}-2^{n}}}{Xn}}

quindi :

\lim_{n\to \infty}[(1+\frac{2^n}{n!-2^{n}})^{\frac{n!-2^{n}}{2^n}}]^{{\frac{n!}{n^{2}-2^{n}}\frac{2^n}{n!-2^{n}}}

e seguendo i passaggi si arriva a risultato finale ovvero e^{-1}

Ps:Grazie mille per la correzione! yoh
« Last Edit: 09-02-2011, 13:58:21 by Jad1 » Logged
thomas89
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« Reply #13 on: 09-02-2011, 14:00:45 »

scusa eh.. ma se scrivi che \frac{1}{X_n} è \frac{2^n}{n!-2^{n}}, allora {X_n} solo dovrebbe essere l'inverso.. e invece scrivi lo stesso.. guarda facci caso..
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thomas89
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« Reply #14 on: 09-02-2011, 14:01:24 »

ah ok hai fatto l'edit ora ahah nn era ancora presente qnd ho scritto l'ultimo reply 
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