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Author Topic: Studiare il carattere di una serie  (Read 3153 times)
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Luxandro
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« Reply #15 on: 09-12-2011, 21:33:03 »

La serie diverge per ogni 0<x<1.

Per esempio, considerando {x = \frac{1}{2}}, si avrà la serie \fs{5}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + \sqrt{n})}

Applicando il secondo criterio del confronto (o criterio del confronto asintotico), confrontandola con la serie armonica generalizzata
\fs{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha} con \alpha\leq1 (per esempio \fs{5}{\alpha}=1) la serie armonica diverge e si avrà

\fs{5}lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{ {\frac{1}{n+2\sqrt{n}}}}{\frac{1}{n}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n}{n+2\sqrt{n}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{ 1+{\frac{2}{\sqrt{n}}} } = 1 > 0

allora la serie \fs{10}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^x)} diverge per il secondo criterio del confronto



Per x>=1 la serie converge

Infatti, ponendo x = 1 avremo la serie \fs{5}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + n)}

Applicando il secondo criterio del confronto, confrontandola con la serie armonica generalizzata
\fs{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha} con {\alpha}=\frac{3}{2} la serie armonica converge e si avrà

\fs{5}lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{ {\frac{1}{\sqrt{n^3}+2\sqrt{n}}}}{\frac{1}{\sqrt{n^3}}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{n^3}}{\sqrt{n^3}+2\sqrt{n}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{1+\frac{2}{n}} = 1\in\R

allora la serie \fs{10}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^x)} converge per il secondo criterio del confronto


La serie converge anche per x>1
Infatti se x = 2 la serie considerata sarà \fs{5}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^2)}

Applicando il secondo criterio del confronto, confrontandola con la serie armonica generalizzata
\fs{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha} con {\alpha}=\frac{5}{2} la serie armonica converge e si avrà

\fs{5}lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{ {\frac{1}{\sqrt{n^5}+2\sqrt{n}}}}{\frac{1}{\sqrt{n^5}}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{n^5}}{\sqrt{n^5}+2\sqrt{n}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{1+\frac{2}{n^2}} = 1\in\R

allora la serie \fs{10}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^x)} converge per il secondo criterio del confronto
« Last Edit: 10-12-2011, 00:06:25 by Luxandro » Logged

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« Reply #16 on: 09-12-2011, 22:09:40 »

ho utilizzato il criterio degli infinitesimi, quindi moltiplicando ad (a_n): \sqrt{n} ... quindi risulta:

\frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^x)}= \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}(2 + n^x)}=\frac{1}{(2 + n^x)}  

quindi per n>0   (a_n) tende a 0\in\R  con\alpha\leq1 quindi diverge.


Non vorrei sbagliarmi ma per il criterio degli infinitesimi quando \alpha\leq1 il limite deve essere diverso da zero
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« Reply #17 on: 09-12-2011, 23:27:29 »

Ho impiegato 3 ore per scrivere sto post   Quanto meno ho imparato ad usare il latex testate
« Last Edit: 09-12-2011, 23:50:48 by Luxandro » Logged

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Chuck_son
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« Reply #18 on: 10-12-2011, 20:22:33 »

ahhaha luxandro spacca
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« Reply #19 on: 12-12-2011, 13:20:40 »

un dubbio .. ma perche dividi  a_n  per 0<\alpha<1 per \frac{1}{n}?
« Last Edit: 12-12-2011, 13:23:29 by Chuck_son » Logged

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Luxandro
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« Reply #20 on: 12-12-2011, 23:07:36 »

un dubbio .. ma perche dividi  a_n  per 0<\alpha<1 per \frac{1}{n}?

è 0<x<1 non \alpha
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« Reply #21 on: 13-12-2011, 15:25:11 »

ok.. ma perche?
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