Studiare il carattere di una serie

La serie diverge per ogni 0<x<1.

Per esempio, considerando ${x = \frac{1}{2}}$ , si avrà la serie $\fs{5}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + \sqrt{n})}$

Applicando il secondo criterio del confronto (o criterio del confronto asintotico), confrontandola con la serie armonica generalizzata
$\fs{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}$ con $\alpha\leq1$ (per esempio $\fs{5}{\alpha}=1$ ) la serie armonica diverge e si avrà

$\fs{5}lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{ {\frac{1}{n+2\sqrt{n}}}}{\frac{1}{n}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n}{n+2\sqrt{n}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{ 1+{\frac{2}{\sqrt{n}}} } = 1 > 0$

allora la serie $\fs{10}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^x)}$ diverge per il secondo criterio del confronto

Per x>=1 la serie converge

Infatti, ponendo x = 1 avremo la serie $\fs{5}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + n)}$

Applicando il secondo criterio del confronto, confrontandola con la serie armonica generalizzata
$\fs{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}$ con ${\alpha}=\frac{3}{2}$ la serie armonica converge e si avrà

$\fs{5}lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{ {\frac{1}{\sqrt{n^3}+2\sqrt{n}}}}{\frac{1}{\sqrt{n^3}}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{n^3}}{\sqrt{n^3}+2\sqrt{n}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{1+\frac{2}{n}} = 1\in\R$

allora la serie $\fs{10}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^x)}$ converge per il secondo criterio del confronto

La serie converge anche per x>1
Infatti se x = 2 la serie considerata sarà $\fs{5}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^2)}$

Applicando il secondo criterio del confronto, confrontandola con la serie armonica generalizzata
$\fs{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}$ con ${\alpha}=\frac{5}{2}$ la serie armonica converge e si avrà

$\fs{5}lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{ {\frac{1}{\sqrt{n^5}+2\sqrt{n}}}}{\frac{1}{\sqrt{n^5}}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{n^5}}{\sqrt{n^5}+2\sqrt{n}} = lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{1+\frac{2}{n^2}} = 1\in\R$

allora la serie $\fs{10}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(2 + n^x)}$ converge per il secondo criterio del confronto

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