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Author Topic: lista esercizi  (Read 7249 times)
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Più grande è la lotta, e più è glorioso il trionfo


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« Reply #15 on: 21-05-2013, 19:29:54 »

Ecco altri dubbi relativi agli esercizi di ragionamento da te proposti nella seconda lista
Quote
B. Si consideri una funzione f dai naturali ai naturali, monotonicamente non-decrescente. È possibile che esista una tale funzione e che sia non-cacolabile? Se sì, esibirne un esempio e dimostrarne la non-calcolabilità; se no, dimostrare perché.

Abbiamo definito
                 \phi x(x)+1 se  \phi x(x) \downarrow
f(x) =
                 1  se  \phi x(x) \uparrow
f è non calcolabile in quanto perveniamo ad un assurdo in entrambi i casi.

La f cosi definita soddisfa le condizioni da te proposte?
Eh, questo devi dirmelo tu.
Sicuramente è non calcolabile, ma è monotonicamente non-decrescente?
Io posso dimostrare che sta funzione certamente non lo è.
Infatti, sia \fs{3}a=\min\{{x\;:\;\phi_x=\underline{1}}\} e sia \fs{3}b=\min\{{x\;:\;\phi_x=\underline{0}\;\wedge\;x>a}\}
Siccome per ogni funzione calcolabile (in questo caso per \fs{3}\underline{0}) esistono infiniti codici di programma che la calcolano, un tale \fs{3}b esiste.
Ora succede che:
\fs{3}\phi_a(a)\downarrow 1\;\Longrightarrow\;f(a)=\phi_a(a)+1=1+1=2\\\phi_b(b)\downarrow 0\;\Longrightarrow\;f(b)=\phi_b(b)+1=0+1=1\\\\f(a)=2>1=f(b)\;\Longrightarrow\;f(a)>f(b)

Quindi abbiamo trovato due punti \fs{3}a, b tali che:
\fs{3}a<b\;\wedge\;f(a)>f(b)\;\Longrightarrow\;fnon è non-decrescente (infatti è proprio DEcrescente).

Tu, invece, dovresti esibirne una che lo è, e dimostrare che per essa vale la proprietà di monotonica non-decrescenza.

Quote
C.Si dimostri l'esistenza di due funzioni totali, unarie e non-calcolabili f1 ed f2 dai naturali ai naturali, tali che la funzione composta g(x)=rm(f1(x),f2(x)) cioè il resto della divisione f2(x)/f1(x) sia calcolabile.

Qui abbiamo definito f1(x) , al solito, come \phi x(x)+1 se  \phix(x) \downarrow e 1 se non termina .
Dato per assodato che f1(x) ,così definita ,sia non calcolabile possiamo prendere come f2(x) il doppio di f1(x) cioè:
f2(x)=2 f1(x) e quindi dire che anche f2(x) è non calcolabile?
Sì, potete, ma dovete dimostrarlo. Si può dimostrare per assurdo, facendo vedere che, se fosse calcolabile, allora per composizione, anche la funzione \fs{3}k(x)=\text{qt}\{{2, f_2(x)}\}=\frac{f_2(x)}{2}=\frac{2f_1(x)}{2}=\frac{\not{2}f_1(x)}{\not{2}}=f_1(x) sarebbe calcolabile. Assurdo perché \fs{3}f_1 è non-calcolabile.

Per la funzione composta g(x)=  	\frac{f2(x)}{f1(x)}    e sostituendo la f2(x) otteniamo
 \frac{ 2f1(x)}{f1(x)}    =  2  funzione costante quindi calcolabile.
Avete sbagliato a considerare la funzione \fs{3}g(x).

Avevo detto che a essere calcolabile doveva essere la funzione \fs{3}g(x)=\text{rm}\({f_2(x), f_1(x)}\), cioè il RESTO della divisione intera \fs{3}\frac{f_2(x)}{f_1(x)}.
Ma del tutto incidentalmente boh, anche se avete considerato la \fs{3}g sbagliata, visto che la divisione fa sempre due, significa che il resto fa sempre 0, e una funzione che assume sempre il valore 0 è \fs{3}\underline{0}\in C_1, a colpo di fortuna !

Per quelli sulla non calcolabilità come:
Quote
1. Dimostrare che esiste una funzione unaria totale e non calcolabile f tale che Ran(f)= { y: y è pari}


                    2   \phi   y/2 (y) se \phi y (y)\downarrow and y è pari
f(y)=
                    0 altrimenti

è non calcolabile.
Supponendo per assurdo che lo sia allora esiste e tale che \phi e =f . Considerando il punto y=2e perveniamo ad un assurdo sia nel caso in cui \phi e (2e) termina e 2e è pari che non termina.
 
Forse nella condizione volevate scrivere "se \fs{3}\phi_{\frac{y}{2}}(y)\downarrow\;\wedge\;y \text{ pari}

Ma anche in quel caso (e in questo attuale), non avete dimostrato che tutti i numeri pari sono stati assunti dalla vostra funzione \fs{3}f.

Suggerimento: siccome il codominio che vi ho imposto è infinito, non vi basta "traslare" di qualche posizione (un numero finito) la diagonale, ma dovete piegarla!
In particolare, potete fare in modo che nei punti pari la funzione assuma lo stesso valore del punto, e nei dispari ci infilate i valori diversi da tutte le funzioni calcolabili (in modo che si passi da tutte le funzioni calcolabili, e non sia uguale a nessuna di esse, in almeno un punto).
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La grande marcia della distruzione mentale proseguirà. Tutto verrà negato. Tutto diventerà un credo. È un atteggiamento ragionevole negare l'esistenza delle pietre sulla strada; sarà un dogma religioso affermarla. È una tesi razionale pensare di vivere tutti in un sogno; sarà un esempio di saggezza mistica affermare che siamo tutti svegli. Accenderemo fuochi per testimoniare che due più due fa quattro. Sguaineremo spade per dimostrare che le foglie sono verdi in estate. Non ci resterà quindi che difendere non solo le incredibili virtù e saggezze della vita umana, ma qualcosa di ancora più incredibile: questo immenso, impossibile universo che ci guarda dritto negli occhi. Combatteremo per i prodigi visibili come se fossero invisibili. Guarderemo l'erba e i cieli impossibili con uno strano coraggio. Saremo tra coloro che hanno visto eppure hanno creduto.

In tutto, amare e servire.

  
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« Reply #16 on: 25-05-2013, 11:23:59 »

 
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Suggerimento: siccome il codominio che vi ho imposto è infinito, non vi basta "traslare" di qualche posizione (un numero finito) la diagonale, ma dovete piegarla!
In particolare, potete fare in modo che nei punti pari la funzione assuma lo stesso valore del punto, e nei dispari ci infilate i valori diversi da tutte le funzioni calcolabili (in modo che si passi da tutte le funzioni calcolabili, e non sia uguale a nessuna di esse, in almeno un punto).

così com'è?

           y                  se y pari
f(y)=  \phi(y-1)/2+1     y dispari \wedge  \phi(y-1)/2\downarrow
          0                   se y dispari \wedge \phi(y-1)/2\uparrow


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« Reply #17 on: 25-05-2013, 11:53:02 »

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Suggerimento: siccome il codominio che vi ho imposto è infinito, non vi basta "traslare" di qualche posizione (un numero finito) la diagonale, ma dovete piegarla!
In particolare, potete fare in modo che nei punti pari la funzione assuma lo stesso valore del punto, e nei dispari ci infilate i valori diversi da tutte le funzioni calcolabili (in modo che si passi da tutte le funzioni calcolabili, e non sia uguale a nessuna di esse, in almeno un punto).

così com'è?

           y                  se y pari
f(y)=  \phi(y-1)/2+1     y dispari \wedge  \phi(y-1)/2\downarrow
          0                   se y dispari \wedge \phi(y-1)/2\uparrow


ormai la disperazione fa parte di me  testate
Perfetto!!!
Hai dimenticato solo di specificare l'argomento delle funzioni \fs{5}\phi_{\frac{y-1}{2}}, che può essere qualsiasi stavolta (y stesso andrà benissimo!) ! Congratulescions!

Poi devi solo fare la solita "tiritera" della non calcolabilità dimostrandola tramite assurdi  ok!
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« Reply #18 on: 25-05-2013, 12:03:49 »

Quote
"tiritera"
 
si lo so... ora che so che l'impostazione è giusta è un gioco da ragazzi continuare Wink .....
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« Reply #19 on: 26-05-2013, 10:25:01 »

Buona domenica (non per me  ) !!!
Sto riprendendo gli es della seconda lista (quelli del t s-m-n) che avevamo sbagliato e lasciato perdere perchè non riuscivamo più a ragionarci...  ora sto riflettendo di nuovo sul 3 e in base alle osservazioni fatte :
Quote
Fra i tanti errori, ve ne indico uno: la vostra funzione  va in loop quando ; equivalentemente, una volta applicato il teorema di parametrizzazione S-m-n (forma semplice) vi accorgerete che la vostra funzione  sarà tale che
che non va bene!
ho abbozzato una soluzione ma in un caso non so ancora cosa far restituire per riportare i valori ottenuti all'immagine  , ecco la mia soluzione incompleta:

           y     se y\leqx
f(x,y)= ?   se x<y\leqx2
          \uparrow      se y>x2

Nel secondo caso cosa posso mettere ammesso che sia giusta l'impostazione dei casi?
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« Reply #20 on: 26-05-2013, 12:39:23 »

Ci sei quasi, ma... facciamo un passo indietro, un secondino.
Dimentica, per adesso, che ho imposto che debba valere la seconda parte,
\fs{3}E_{k(x)}=\{{1,\;2,\;\cdots,\;x}\}.

Sai dimostrare l'esistenza di una funzione totale, unaria e calcolabile \fs{3}k(x), tale che:
\fs{3}W_{k(x)}=\{{1,\;2,\;\cdots,\;x^2}\}?
Senza ulteriori condizioni imposte, solo questa.

Cioè per tutti i numeri da 1 a x2 compresi deve terminare (negli altri loopare).
« Last Edit: 26-05-2013, 13:29:48 by reversengineer » Logged

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« Reply #21 on: 26-05-2013, 13:15:45 »

Aggiungo che nel caso speciale \fs{3}x=0, gli insiemi \fs{3}\{{1,\;2,\;\cdots,\;x}\} e \fs{3}\{{1,\;2,\;\cdots,\;x^2}\} sono entrambi vuoti .
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« Reply #22 on: 26-05-2013, 14:33:31 »

Quote
Sai dimostrare l'esistenza di una funzione totale, unaria e calcolabile , tale che:
?
Senza ulteriori condizioni imposte, solo questa.

Cioè per tutti i numeri da 1 a x2 compresi deve terminare (negli altri loopare).

il problema è lo zero? quindi quando è finita, la condizione è 0<y\leqx^2 mentre negli altri casi è indefinita?
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« Reply #23 on: 26-05-2013, 15:00:18 »

Esatto il problema è lo zero (una delle tante difficoltà che ho volutamente aggiunto xD).
Puoi considerare di usare, come condizione di definizione, \fs{3}1\leq y\leq x^2.

Ma poi, ti chiedo, una volta che hai tutti i numeri dell'intervallo di interi \fs{3}\[{1,\;x^2}\], riesci a trovare un modo molto sbrigativo seppure elegante, di associare tale intervallo all'intervallo \fs{3}\[{1,\;x}\] (riciclando il valore \fs{3}y intendo)?
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« Reply #24 on: 26-05-2013, 16:01:38 »

Quote
Ma poi, ti chiedo, una volta che hai tutti i numeri dell'intervallo di interi , riesci a trovare un modo molto sbrigativo seppure elegante, di associare tale intervallo all'intervallo   (riciclando il valore  intendo)?
usando il modulo?:
(y mod x)+1

così va bene?
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« Reply #25 on: 26-05-2013, 16:21:16 »

Perfetto! ok

Io avevo pensato, invece, a \fs{3}\lfloor\sqrt{y}\rfloor, che si dimostra essere calcolabile .

Ad ogni modo, o nel mio o nel tuo, sai riscrivere ora correttamente la funzione \fs{3}f(x,\;y)?
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« Reply #26 on: 26-05-2013, 16:26:27 »

Quote
Ad ogni modo, o nel mio o nel tuo, sai riscrivere ora correttamente la funzione ?
si si  [Emoticon] Asd  brevemente restituisce la mia sol o la tua nella condizione y compresa fra 1 e x2 mentre è indefinita altrimenti..... grazie Wink
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« Reply #27 on: 26-05-2013, 16:41:54 »

Perfetto.

Siccome abbiamo una funzione definita per casi, ove i casi sono mutualmente esclusivi e discriminati da predicati decidibili, e poiché, per ogni caso, il valore da far assumere alla funzione è calcolabile, allora la funzione è certamente calcolabile .

Questo, se ricordi la discussione con il professore a cui ero presente pure io, è sufficiente per dimostrare la calcolabilità.

Però si possono avere più punti all'esame, se si è in grado di esibire una espressione funzionale (piuttosto di quella, appena enunciata, che si basa su teoremi costruttivi) e che mostri come è possibile calcolare f.

Con la mia variante, una valida soluzione è:
\fs{3}f(x,\;y)=\mu_z\({z^2=y\;\wedge\;1\leq y\;\wedge\;y\leq x^2}\)

Con la tua variante, una valida soluzione è:
\fs{3}f(x,\;y)=\{\[{{\underline{0}\({\mu_z\({1\leq y\;\wedge\;y\leq x^2}\)}\)+y}\]\;\text{mod}\;x}\}+1
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« Reply #28 on: 26-05-2013, 17:02:58 »

  grazie mille!!!!!!
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« Reply #29 on: 20-06-2013, 11:01:33 »

Quote
Dimostrare che esiste una funzione unaria totale e non calcolabile g1 tale che g1(2x)=2x,\forall x \inN.

Dimostrare che esiste una funzione unaria totale e non calcolabileg2 tale che g2(3x)=3x,\forall x \inN.

Generalizzando:
Fissato k\inN, dimostrare che esiste una funzione unaria totale e non calcolabile g tale che g(kx)=kx, \forall x\in N

A distanza di tempo mi sono accorta che pur avendo affrontato questa serie di esercizi non sono arrivata ad una soluzione "postabile"  pc ...
Mi riferisco all'autore della lista: Per favore mi puoi spiegare su cosa devo concentrarmi? queste funzioni hanno lo stesso input e output... non capisco!   
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