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Author Topic: Serie a segno alterno  (Read 1115 times)
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roby861
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« on: 14-12-2013, 11:56:13 »

Ciao a tutti, qualcuno può aiutarmi con la seguente serie? Anche solo un suggerimento è ben gradito:

\fs{4}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot \frac{\log n + n}{5^n + n^2}

Studio la serie dei valori assoluti ma ottengo un rapporto di somme e non riesco a semplificare.

Grazie in anticipo a chiunque risponda.

EDIT del mod.: migliorata espressione latex
« Last Edit: 14-12-2013, 13:09:20 by ɹǝǝuıƃuǝsɹǝʌǝɹ » Logged

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andr3a22
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« Reply #1 on: 16-12-2013, 01:18:16 »

Ciao a tutti, qualcuno può aiutarmi con la seguente serie? Anche solo un suggerimento è ben gradito:

\fs{4}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot \frac{\log n + n}{5^n + n^2}

Studio la serie dei valori assoluti ma ottengo un rapporto di somme e non riesco a semplificare.

Grazie in anticipo a chiunque risponda.

EDIT del mod.: migliorata espressione latex
studiando la serie dei valori assoluti, e applicando il criterio del rapporto, arriviamo a questa situazione qui:
limit \fs{4}\displaystyle \cdot \frac{\log (n+1) + n+1}{\log (n) + n}\cdot \frac{5^n + n^2}{5^{n+1} + (n+1)^2}
(ho già semplificato i due valori assoluti, verrebbe valore assoluto di 1 che possiamo anche omettere...)

la prima parte tende a 1, basta mettere a fattor comune la n per accorgersene.
la seconda invece tende a 1/5, e basta mettere a fattor comune sia nel numeratore, sia nel denominatore 5 alla n.
quindi tutto il limite tende a 1/5, che è minore di 1. Secondo il corollario del citerio del rapporto la serie dei valori assoluti converge. Quindi la serie converge.

Sono tutti rapporti tra infiniti  I 5^n è più grande di n^2, mentre n è più grande di log(n)
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Oh Don Piano
roby861
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« Reply #2 on: 16-12-2013, 12:09:52 »

Ciao e grazie per la tua risposta,

sapevo che alla professoressa Cilia non piacciono le considerazioni sul rapporto tra infiniti e su chi tende ad infinito più velocemente perciò volevo sapere se questo rapporto si poteva ricondurre ad un prodotto/rapporto di limiti notevoli eseguendo qualche passaggio che io non riesco a trovare  testate
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andr3a22
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« Reply #3 on: 16-12-2013, 18:41:23 »

Ciao e grazie per la tua risposta,

sapevo che alla professoressa Cilia non piacciono le considerazioni sul rapporto tra infiniti e su chi tende ad infinito più velocemente perciò volevo sapere se questo rapporto si poteva ricondurre ad un prodotto/rapporto di limiti notevoli eseguendo qualche passaggio che io non riesco a trovare  testate
non penso faccia problemi per casi come questi grat rapporti piuttosto evidenti. cmq potresti provare a dimostrarlo usando de l'hopital
« Last Edit: 16-12-2013, 18:43:17 by andr3a22 » Logged

Oh Don Piano
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