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Author Topic: Esercizio Logica Proposizionale n. 8  (Read 404 times)
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Gabriele7
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« on: 08-11-2017, 18:44:34 »

Salve professore, ho provato a fare l’esercizio n.8, le riporto quanto ho scritto:

Poiché devo dimostrare che la regola di inferenza è ammissibile, se e solo se
Gamma |= A , Gamma |=  B  implica Gamma |= C

Dimostro che not(A →not (B)) |= A  con la tabella di verità
 
A  B   not(A→ not(B))
0   0       0
0   1       0
1   0       0
1   1       1

Dalla tabella si può dedurre che A è vera in tutti i mondi in cui not(A→ not(B)) è vera, quindi A è conseguenza tautologica.
Per questo possiamo dire che la regola è ammissibile.

Non sono però sicuro che il procedimento sia giusto, può dirmi se sbaglio ed eventualmente correggermi?


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Franco Barbanera
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« Reply #1 on: 08-11-2017, 22:34:31 »

Salve professore, ho provato a fare l’esercizio n.8, le riporto quanto ho scritto:

Poiché devo dimostrare che la regola di inferenza è ammissibile, se e solo se
Gamma |= A , Gamma |=  B  implica Gamma |= C

Dimostro che not(A →not (B)) |= A  con la tabella di verità
 
A  B   not(A→ not(B))
0   0       0
0   1       0
1   0       0
1   1       1

Dalla tabella si può dedurre che A è vera in tutti i mondi in cui not(A→ not(B)) è vera, quindi A è conseguenza tautologica.
Per questo possiamo dire che la regola è ammissibile.
Non sono però sicuro che il procedimento sia giusto, può dirmi se sbaglio ed eventualmente correggermi?

L'esercizio e' in due parti. Tu hai fatto la seconda parte dell'esercizio, usando la prima parte, che pero'
non hai dimostrato.

Prima di tutto c'e' un errore nell'esercizio, che ora ho corretto.

Prendiamo ora la prima parte (ora corretta) dell'esercizio e cerchiamo di farla.
La prima parte dice:
Dimostrare che, nel calcolo proposizionale, una regola di inferenza

        A1 A2 ... An 
      ----------------
             C

e' ammissibile se e solo se

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C

Dobbiamo far quindi vedere che
1)
Se   
       A1 A2 ... An 
      ----------------
             C
e' ammissibile

allora

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C

2)
Se
( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C
allora
      A1 A2 ... An 
      ----------------
             C
e' ammissibile.

Inizia con la parte 1)
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josura
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« Reply #2 on: 09-11-2017, 15:17:55 »


Dimostrare che, nel calcolo proposizionale, una regola di inferenza

        A1 A2 ... An  
      ----------------
             C

e' ammissibile se e solo se

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C

Dobbiamo far quindi vedere che
1)
Se    
       A1 A2 ... An  
      ----------------
             C
e' ammissibile

allora

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C

2)
Se
( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C
allora
      A1 A2 ... An  
      ----------------
             C
e' ammissibile.

Inizia con la parte 1)


Quindi si dovrebbe dimostrare che le ipotesi(non so se sono ipotesi) sono tautologie o che il valore di verità delle affermazioni deve essere 1 negli stessi mondi, probabilmente mi sto sbagliando con i segni, se la regola è ammissibile significa che C e' conclusione di una derivazione che non usa la regola stessa, quindi C dovrebbe essere vera negli stessi assegnamenti proposizionali di An, ma lei ha scritto che :
e' ammissibile se e solo se

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C

Significa che devono essere tutte tautologie o mi sto sbagliando con i segni?
O mi sto sbagliando con tutto?
Sono dubbioso.
« Last Edit: 09-11-2017, 15:42:54 by josura » Logged

Prof. Barbanera non mi uccida, se proprio deve  lo faccia lentamente.
Franco Barbanera
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« Reply #3 on: 09-11-2017, 15:35:29 »

( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C
Significa che devono essere tutte tautologie o mi sto sbagliando con i segni?


Si, significa che se tutte le A sono tautologie, allora lo e' anche C.

Quindi si dovrebbe dimostrare che le ipotesi(non so se sono ipotesi) sono tautologie o che il valore di verità delle affermazioni deve essere 1 negli stessi mondi, probabilmente mi sto sbagliando con i segni, se la regola è ammissibile significa che C e' conclusione di una derivazione che non usa la regola stessa, quindi C dovrebbe essere vera negli stessi assegnamenti proposizionali di An, ma lei ha scritto che
e' ammissibile se e solo se


Io sono l'ultima persona che puo' fare appunti relativi all'italiano (vuoi scritto, vuoi orale),
ma ti faccio sommessamente notare che la frase da te scritta supera decisamente ogni limite di
comprensibilita'.
Non fosse altro che e' una stringa di parole lunga 4 righe in cui l'unico segno di interpunzione
utilizzato e' la virgola....

Ricordatevi che in futuro, per quanto riguarda l'italiano, vi dovrete confrontare
non con il prof. Barbanera, ma con responsabili del personale di aziende...

Pace e Bene
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josura
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« Reply #4 on: 09-11-2017, 15:40:30 »

Mi scusi prof, ho scritto di fretta creando super#@!!0le casuali(che belle le censure).
Tenterò di risolvere la prima parte dell'esercizio.
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Prof. Barbanera non mi uccida, se proprio deve  lo faccia lentamente.
luca98
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« Reply #5 on: 09-11-2017, 16:12:48 »

"Si, significa che se tutte le A sono tautologie, allora lo e' anche C."

scusi professore ma il segno |= non significa conseguenza tautologica? che c'entra la tautologia?

non capisco...
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luca98
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« Reply #6 on: 09-11-2017, 16:40:56 »

Salve professore, ho provato a fare l’esercizio n.8, le riporto quanto ho scritto:

Poiché devo dimostrare che la regola di inferenza è ammissibile, se e solo se
Gamma |= A , Gamma |=  B  implica Gamma |= C

Dimostro che not(A →not (B)) |= A  con la tabella di verità
 
A  B   not(A→ not(B))
0   0       0
0   1       0
1   0       0
1   1       1

Dalla tabella si può dedurre che A è vera in tutti i mondi in cui not(A→ not(B)) è vera, quindi A è conseguenza tautologica.
Per questo possiamo dire che la regola è ammissibile.
Non sono però sicuro che il procedimento sia giusto, può dirmi se sbaglio ed eventualmente correggermi?

L'esercizio e' in due parti. Tu hai fatto la seconda parte dell'esercizio, usando la prima parte, che pero'
non hai dimostrato.

Prima di tutto c'e' un errore nell'esercizio, che ora ho corretto.

Prendiamo ora la prima parte (ora corretta) dell'esercizio e cerchiamo di farla.
La prima parte dice:
Dimostrare che, nel calcolo proposizionale, una regola di inferenza

        A1 A2 ... An 
      ----------------
             C

e' ammissibile se e solo se

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C

Dobbiamo far quindi vedere che
1)
Se   
       A1 A2 ... An 
      ----------------
             C
e' ammissibile

allora

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C

2)
Se
( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C
allora
      A1 A2 ... An 
      ----------------
             C
e' ammissibile.

Inizia con la parte 1)



jo provato a fare la prima parte in questo modo...

dobbiamo dimostrare due cose:

1) se la regola è ammissibile allora (|= A1, |= A2,...., |=An) implica |= C
2) se (|= A1, |= A2,...., |=An) implica |= C allora la regola è ammissibile

iniziamo con 1)

se ho |= A1, |= A2, ... , |= An allora posso affermare pure |- A1, |- A2,..., |- An (non mi ammazzi se ho scritto un'idiozia)

quindi ipotizzo n teoremi. successivamente, poiche R è ammissibile posso aggiungere C alla mia dimostrazione(dimostro C in p0+R. quindi la stessa C la posso ottene anche in p0). ho dimostrato così che |- C e quindi anche |= C.

-
-
-
-
-
A1
-
-
-
-
A2
-
-
-
-
An
-
-
C

2) ipotizziamo ora una dimostrazione generica in p0+R di gamma  |- (p0+r) gamma. se gamma è una dimostrazione in p0+r vuol dire che da qualche parte ci sono degli usi della regola R.

costruisco la derivazione:

-
-
A1
-
-
A2
-
-                                                    nella mia derivazione inserisco le sottodimostrazioni di |- A1, A2, An
-
An

siccome ho queste sottodimostrazioni, sicuramente ho anche una dimostrazione di |- C. allora prendo questa dimostrazione in p0 e la metto al posto della regola(per ogni applicazione di quest'ultima).

ottengo cosi |- gamma (si può ottenere la dimostrazione di gamma anche senza R). R è allora ammissibile

cosi facendo abbiamo dimostrato il tutto...o almeno lo spero! boh

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josura
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« Reply #7 on: 09-11-2017, 17:18:13 »

Per la parte 1
1)

Dimostrare che, nel calcolo proposizionale, una regola di inferenza

        A1 A2 ... An  
      ----------------
             C

e' ammissibile se e solo se

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C

Dobbiamo far quindi vedere che
1)
Se    
       A1 A2 ... An  
      ----------------
             C
e' ammissibile

allora

 ( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C
Si deve quindi dimostrare prima di tutto che le affermazioni del sistema formale P0(calcolo proposizionale) sono derivabili anche senza l'ausilio della regola dell'esercizio, quindi una qualsiasi fbf del sistema si può derivare come
Γ|-PoAn
dove Γ è un insieme di fbf appartenente a P0 .
Secondo il teorema di correttezza  si avrà che:
se Γ|-PoAn allora  Γ|=An
cioè se (tutto cio che è derivabile con delle ipotesi nel sistema P0) allora ( An è vero in tutti i mondi in cui le ipotesi sono vere) quindi :
se|-PoAn (Teorema) allora  |=An (tautologia)
Quindi se C è la conclusione di una regola dove le fbf sono tutti teoremi/tautologie, allora anche C sarà una tautologia
quindi la regola  è ammissibile se e solo se tutte le sue ipotesi sono tautologie ed implicano una conclusione che sia essa stessa una tautologia.

2)
2)
Se
( |= A1, |= A2 .... e  |= An) implica   |= C
allora
      A1 A2 ... An  
      ----------------
             C
e' ammissibile.

Se le derivazioni all'interno del sistema non dipendono dalla regola  e sono derivabili anche senza di essa, allora la regola è ammissibile.

Se ho sbagliato mi corregga, specialmente nella seconda parte.
Se ho scritto male me lo dica che mi metto a piangere in un angolo per la mia tristezza proposizionale testate
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Prof. Barbanera non mi uccida, se proprio deve  lo faccia lentamente.
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« Reply #8 on: 09-11-2017, 17:27:32 »

"Si, significa che se tutte le A sono tautologie, allora lo e' anche C."

scusi professore ma il segno |= non significa conseguenza tautologica? che c'entra la tautologia?

non capisco...

Lo abbiamo detto anche a lezione.
Se alfa è conseguenza tautologia dell'insieme vuoto, allora vuol dire che è vera per tutti gli assegnamenti proposizionali che rendono vere tutte le fbf nell'insieme vuoto. E quali sono gli assegnamenti proposizionali che rendono vere tutte le fbf di un insieme vuoto? Sono tutti. Quindi alfa e vera per tutti gli assegnamenti proposizionali; è quindi una tautologia.
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josura
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« Reply #9 on: 09-11-2017, 17:29:35 »

Mi sembra comunque di aver fatto come il mio collega, anche se non ho specificato l'induzione completa come ha fatto lui, era però implicita nella mia spiegazione( sempre se mi sono espresso bene pray)
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Prof. Barbanera non mi uccida, se proprio deve  lo faccia lentamente.
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« Reply #10 on: 09-11-2017, 17:41:59 »

Caro Josura, rispondo al tuo penultimo post.

Tu scrivi
Si deve quindi dimostrare prima di tutto che le affermazioni del sistema formale P0(calcolo proposizionale) sono derivabili

Per prima cosa l'esercizio parla di ammissibilita', NON di derivabilita'!!!

E sono le regole ad essere ammissibili, NON le fbf.
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josura
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« Reply #11 on: 09-11-2017, 17:58:12 »

Prof, lo sapevo di aver scritto male ed incomprensibile
Caro Josura, rispondo al tuo penultimo post.

Tu scrivi
Si deve quindi dimostrare prima di tutto che le affermazioni del sistema formale P0(calcolo proposizionale) sono derivabili

Per prima cosa l'esercizio parla di ammissibilita', NON di derivabilita'!!!

E sono le regole ad essere ammissibili, NON le fbf.

Giuro che non intendevo questo, cerco di rispiegarlo più comprensibilmente ( forse).
Per essere ammissibile una regola deve esistere una dimostrazione di un qualsiasi teorema in P0+R, e di tale teorema esiste una dimostrazione in P0.
Io ho tentato di derivare le singole fbf del sistema senza la regola , ed ho usato il teorema di correttezza per far vedere che sono teoremi e tautologie e che tutte le An sono derivabili anche senza la regola .
Dopo ho spiegato che siccome C è la conclusione di una regola dove tutte le premesse sono tautologie, allora anche C sarà una tautologia secondo il teorema di correttezza.

Mi corregga ancora cosicché possa avere le idee più chiare.
« Last Edit: 10-11-2017, 07:17:35 by josura » Logged

Prof. Barbanera non mi uccida, se proprio deve  lo faccia lentamente.
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« Reply #12 on: 09-11-2017, 20:16:40 »

Per essere ammissibile una regola deve esistere una dimostrazione di un teorema in P0+R, e di tale teorema esiste una dimostrazione in P0.

NO!
E' ammissibile quando OGNI teorema in P0+R e' anche un teorema in P0
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Franco Barbanera
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« Reply #13 on: 09-11-2017, 20:20:32 »

Quote
iniziamo con 1)

se ho |= A1, |= A2, ... , |= An allora posso affermare pure |- A1, |- A2,..., |- An (non mi ammazzi se ho scritto un'idiozia)

quindi ipotizzo n teoremi. successivamente, poiche R è ammissibile posso aggiungere C alla mia dimostrazione(dimostro C in p0+R. quindi la stessa C la posso ottene anche in p0). ho dimostrato così che |- C e quindi anche |= C.

-
-
-
-
-
A1
-
-
-
-
A2
-
-
-
-
An
-
-
C

Questa e' la parte 1) proposta da luca98.

Lui inizia dicendo
quindi ipotizzo n teoremi.

NON si ipotizzano i teoremi!

Possiamo dire: supponiamo che i vari Ai siano teoremi.

Poi il ragionamento di luca98 e' corretto, ma andrebbe spiegato meglio.
Si puo' dire:
costruisco una dimostrazione per |-Po+R C
mettendo i teoremi delle Ai uno di seguito all'altro, e poi utilizzo la regola R.
Poiche' R abbiamo assunto che sia ammissibile, avremo anche che |-Po C.
« Last Edit: 09-11-2017, 20:25:30 by Franco Barbanera » Logged
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« Reply #14 on: 09-11-2017, 20:32:19 »

Per essere ammissibile una regola deve esistere una dimostrazione di un teorema in P0+R, e di tale teorema esiste una dimostrazione in P0.

NO!
E' ammissibile quando OGNI teorema in P0+R e' anche un teorema in P0
Grazie prof, tutto chiaro, almeno spero.
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