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Author Topic: Esercizio semantica Po  (Read 1662 times)
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Mirkesx
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« Reply #15 on: 19-11-2017, 01:08:33 »

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Dire che |=A implica |=B, non ci da garanzie che valga A|=B, perchè per avvenire ciò deve accadere come spiegato precedentemente che in ogni assegnamento proposizionale dove B'(A)=1, anche B'(B)=1, e non possiamo essere certi di questo a priori se A e B non sono entrambe tautologie.

Perciò si può dimostrare che questa proprietà non valga per qualunque A e B.

Ipotizziamo che A sia una fbf tautologica e che B sia una fbf non tautologica (quindi o soddisfacibile o contradditoria). In questo caso sarebbe facile constatare che A|/=B, perché esisterebbe almeno un assegnamento proposizionale dove si avrebbe che B’(A)=1 e B’(B)=0. Si potrebbe Anche dimostrare che |/= A->B, essendoci almeno un assegnamento proposizionale dove B’(A->B) = 0, ovvero per tutti quegli assegnamenti proposizionali che rendono A vera e B falsa.

Inoltre:

|=A -> |=B non è vera nel caso che A sia una tautologia e B non lo sia, proprio come nella nostra ipotesi. Quindi non possiamo affermare che, se una qualunque A sia vera in tutti i mondi, lo sia anche una qualunque B, a riprova del fatto che non è vero che per qualunque A e B allora A|=B.
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Franco Barbanera
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« Reply #16 on: 19-11-2017, 09:17:25 »

 
      |=A -> |=B non è vera nel caso che A sia una tautologia e B non lo sia

Giusto, ma in questo caso l'implicazione 

                 Se  ( |=A  -> |=B )  allora   A|=B

risulterebbe vera....

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Mirkesx
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« Reply #17 on: 19-11-2017, 10:40:08 »

In effetti...

Se la mettiamo cosi, l'ipotesi non dovrebbe tener conto del fatto che A sia una tautologia e B non lo sia, ma dovremmo ipotizzare che A sia soddisfacibile e B sia contradditoria. In quel caso sapremo che:

Se (|=A -> |=B) entrambe false e quindi vero
allora A|=B è Falso, perchè essendo A soddisfacibile e B contraddittoria, esisterà almeno 1 assegnamento proposizionale dove A è vera e B è falsa.

E quindi in conclusione, se la premessa è vera e la conclusione è falsa, l'implicazione è falsa e soddisferebbe il quesito.

Se è corretto riprendo la mia risposta precedente e la riscrivo, per ora evito di articolare troppo quest'altro ragionamento.
« Last Edit: 19-11-2017, 10:45:51 by Mirkesx » Logged
Franco Barbanera
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« Reply #18 on: 19-11-2017, 14:17:07 »

Occorrerebbe dirlo un po' meglio.
Dire soddisfacibile non basta. Anche una tautologia e' soddisfacibile....
Occorre dire: soddisfacibile ma non tautologica.

E magari poi dare pure come esempio una A e una B di questo tipo.

Per il resto, il ragionamento e' giusto.
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Mirkesx
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« Reply #19 on: 19-11-2017, 15:15:47 »

Bene ricapitolando:

Ipotizziamo che A sia una fbf soddisfacibile ma non tautologica e che B sia una fbf contradditoria. In questo caso l'implicazione

(|=A -> |=B) -> A|=B

sarebbe falsa questo perchè, sebbene la premessa sia vera (A e B non sono tautologie e quindi se un'affermazione falsa implica un'affermazione falsa, questa è vera), la conclusione è falsa. A|/=B perchè esisterebbe almeno un assegnamento proposizionale dove B'(A)=1 e B'(B)=0.

Possiamo dimostrare questo ragionamento portando il seguente esempio specifico. Se come sosteniamo la proprietà deve valere per qualunque A e B, allora dovrà valere per le seguenti fbf:

1) A1 = c->d
2) B1 = not(c->c)

Se vediamo le singole tabelle di verità vedremo che la prima è soddisfacibile (Vera in qualunque assegnamento proposizionale tranne quando B'(c)=1 e B'(d)=0) e la seconda contraddittoria (falsa per qualunque assegnamento proposizionale). Riscriveremo quindi la nostra proprietà nella seguente maniera:

(|=c->d ->|=not(c->c)) -> c->d |= not(c->c)

Studiando questo caso specifico vedremo che tutta questa implicazione non sarà vera nemmeno per queste fbf A1 e B1, ma falsa. Questo perchè:

1) La premessa è vera. (c->d) e  not(c->c) non sono tautologie e quindi il valore di verità di (|=A1 -> |=B1) è vero.
2) La conclusione è falsa, visto che esistono degli assegnamenti proposizionali dove B'(A1)=1 e B'(B1)=0. Per esempio un caso è quando B'(c)=1 e B'(d)=1. Indicheremo gli altri casi con la tabella di verità per maggiore chiarezza:

c->d |= not(c->c)

c  |  d  |  c->d   |   not(c->c) |
0  | 0   |   1       |      0          |    X
0  | 1   |   1       |      0          |    X
1  | 0   |   0       |      0          |
1  | 1   |   1       |      0          |    X

In conclusione, avremo dimostrato che questa proprietà non vale per le due fbf A1 e B1, e quindi che non è vero che per qualunque A e B valga:

(|=A -> |=B) -> A|=B.
« Last Edit: 19-11-2017, 15:18:21 by Mirkesx » Logged
Franco Barbanera
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« Reply #20 on: 19-11-2017, 15:19:18 »

GREAT!
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Franco Barbanera
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« Reply #21 on: 19-11-2017, 15:26:28 »

Possiamo semplificare ulteriormente il ragionamento
senza utilizzare formule contraddittorie.

Possiamo piu' semplicamente usare
A = p            dove p e' una variabile proposizionale
B = not(p)

In questo caso
  |= p  ->  |= not(p)
e' vero perche  p non e' una tautologia

mentre
  p |= not(p)
e' falso poiche' nessuna B che soddisfi p puo' soddisfare not(p).


E' stato un bel thread.
Belle osservazioni, belle discussioni.
Congratulazioni.


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luca98
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« Reply #22 on: 19-11-2017, 15:52:44 »

"In questo caso
  |= p  ->  |= not(p)
e' vero perche  p non e' una tautologia"
---------------------------------------------------------------------------------

scusi prof, ma con |= p non indichiamo una tautologia?

è giusto dire che se not(c->c) è contraddittoria, scrivendo |=not(c->c) avremo in ogni caso una tautologia?
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luca98
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« Reply #23 on: 19-11-2017, 16:05:56 »

io ragionerei in questo modo...mi dica cosa non è giusto

----------------------------------------------------
Dimostrare che non e' vero che, prese due fbf A e B,
vale la seguente proprieta':

Se
|= A implica |= B
allora
A |= B

------------------------------------------------------

se ipotizziamo  A=p e B = not(p), vuol dire dire che A è soddisfacibile e B è contraddittoria...

però dire che |= A e |= B è corretto perchè i teoremi di p0 sono tautologie.

ricordando cosa sono A e B possiamo anche affermare che A |= B non è vera perchènessuna B che soddisfi p puo' soddisfare not(p).


p |= not(p)

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Mirkesx
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« Reply #24 on: 19-11-2017, 19:22:28 »

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e' vero perche  p non e' una tautologia"
---------------------------------------------------------------------------------

scusi prof, ma con |= p non indichiamo una tautologia?

è giusto dire che se not(c->c) è contraddittoria, scrivendo |=not(c->c) avremo in ogni caso una tautologia?

Questo è quello che faceva confondere anche me. Non stiamo asserendo da nessuna parte che A e B siano delle tautologie, ne altro.

Si ipotizza che per qualunque A o B valga la seguente proprietà

Se

|=A -> |=B

allora

A|=B


In soldoni, scrivere |=A significa che A è una tautologia o teorema se presa fuori dal contesto, ma in questo caso stiamo ipotizzando che se |=A (e potrebbe non esserlo) allora |=B (e anche B potrebbe essere o non essere una tautologia). Quindi ipotizziamo per qualunque A e B, ed esistono delle fbf che rendono questa proprietà false.

Se invece A e B fossero tautologie a priori sarebbe sicuramente possibile (come dicevo in qualche post precedente) che A|=B e quindi non avremmo potuto dimostrare che presi due teoremi non è vero che valga la proprietà a cui ci riferiamo.
« Last Edit: 19-11-2017, 19:27:04 by Mirkesx » Logged
Franco Barbanera
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« Reply #25 on: 19-11-2017, 20:35:47 »

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se ipotizziamo  A=p e B = not(p), vuol dire dire che A è soddisfacibile e B è contraddittoria...

però dire che |= A e |= B è corretto perchè i teoremi di p0 sono tautologie.

ricordando cosa sono A e B possiamo anche affermare che A |= B non è vera perchènessuna B che soddisfi p puo' soddisfare not(p).


Le prime due frasi sono molto poco chiare.

Le potresti riscrivere? (anche come esercizio di comunicazione scritta...)

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Franco Barbanera
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« Reply #26 on: 19-11-2017, 20:38:16 »

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scrivere |=A significa che A è una tautologia o teorema se presa fuori dal contesto

Questa frase sarebbe chiara, se non fosse per la parte "se presa fuori dal contesto".
Cosa significa??
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Mirkesx
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« Reply #27 on: 19-11-2017, 21:16:07 »

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scrivere |=A significa che A è una tautologia o teorema se presa fuori dal contesto

Questa frase sarebbe chiara, se non fosse per la parte "se presa fuori dal contesto".
Cosa significa??

Intendo dire che, decontestualizzata, se io vedessi scritto solo e soltanto |=A, allora si stiamo parlando genericamente di una fbf A che sia un teorema.

Possibilmente al mio collega è successo (come a me) di vedere |=A in questo contesto (|=A->|=B) e concludere che si stia dicendo che A e B siano sempre e solo dei teoremi. Infatti, per questo motivo, nella frase successiva che lei ha quotato spiego che A e B potrebbero non essere dei teoremi perchè stiamo ipotizzando per qualunque fbf A e B, proprio come lei mi ha fatto notare qualche post precedente.
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Franco Barbanera
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« Reply #28 on: 19-11-2017, 21:35:32 »

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« Reply #29 on: 19-11-2017, 23:41:33 »

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e' vero perche  p non e' una tautologia"
---------------------------------------------------------------------------------

scusi prof, ma con |= p non indichiamo una tautologia?

è giusto dire che se not(c->c) è contraddittoria, scrivendo |=not(c->c) avremo in ogni caso una tautologia?

Questo è quello che faceva confondere anche me. Non stiamo asserendo da nessuna parte che A e B siano delle tautologie, ne altro.

Si ipotizza che per qualunque A o B valga la seguente proprietà

Se

|=A -> |=B

allora

A|=B


In soldoni, scrivere |=A significa che A è una tautologia o teorema se presa fuori dal contesto, ma in questo caso stiamo ipotizzando che se |=A (e potrebbe non esserlo) allora |=B (e anche B potrebbe essere o non essere una tautologia). Quindi ipotizziamo per qualunque A e B, ed esistono delle fbf che rendono questa proprietà false.

Se invece A e B fossero tautologie a priori sarebbe sicuramente possibile (come dicevo in qualche post precedente) che A|=B e quindi non avremmo potuto dimostrare che presi due teoremi non è vero che valga la proprietà a cui ci riferiamo.


Perfetto ora ho capito...quindi A e B non per forza devono essere tautologie (perché la regola, se è vera, deve valere per qualsiasi fbf). Se troviamo troviamo un caso in cui A |/= B allora abbiamo finito.

Grazie  Mirkesx!
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