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Author Topic: Esercizio 11 (Logica)  (Read 77 times)
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maujeri
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« on: 12-02-2019, 19:53:11 »

Salve professore, ho riscontrato qualche problema con lo svolgimento di questo esercizio:
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Considerare la deduzione naturale con le solo regole per l'implicazione, la negazione e l'assurdo.
Dimostrare che, definendo \/ e /\ come fatto alla fine del secondo punto nella definizione 3.1 [SM], tutte le regole della deduzione naturale per \/ e /\ sono derivabili o ammissibili.
Per rappresentare il falso ho preso in considerazione ¬F cioè ¬(A -->(A-->A)) quindi la negazione dell'assioma (Ak),
se il mio ragionamento è giusto ora dovrei dimostrare:
(-->I) (P --> Q) --> (P --> Q)
(-->E) P, P --> Q |- Q  
(¬I) P --> ¬F |- ¬P
(¬E) P, ¬P |- ¬F
(RAA) ¬P --> ¬F |- P
Il problema è che non sono riuscito a scrivere una dimostrazione per quanto riguarda la negazione e l'assurdo.
La ringrazio in anticipo per un eventuale risposta, buona serata.
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Franco Barbanera
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« Reply #1 on: 13-02-2019, 14:36:02 »

Nell'esercizio si parla delle regole per l'and e il not.

A or B si rappresenta come

(not A) -> B

Poiche' la regola di introduzione dell'or e'

                   P
            ---------------------
                P or Q

occorre far vedere che in deduzione naturale, utilizzando le sole regole per l'implicazione, la negazione e l'assurdo,

            P |-  (not P) -> Q

e cosi' via per le altre regole per l'and e l'or.

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maujeri
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« Reply #2 on: 15-02-2019, 16:50:04 »

Avevo interpretato male il testo dell'esercizio, la ringrazio per il chiarimento.
Ho provato a risolvere l'esercizio come da lei suggerito, spero di non aver commesso troppi errori:

Introduzione della disgiunzione: P |-  (¬ P) → Q

[P]1    P→Q
-----------(→E)
     Q
---------- (→I)(1)
¬P → Q
È sbagliato scaricare l'ipotesi P in questo caso?

Per quanto riguarda la congiunzione:
P ∧ Q può essere scritto come ¬((¬P) ∨ (¬Q)) di conseguenza ¬(¬(¬P)→(¬Q)), è sbagliato scrivere ¬(P → (¬Q))?
Considerando sia giusto ho risolto così: P,Q |- ¬(P → (¬Q))

[P]1    P→Q
----------- (→E)
    Q
--------
    ⊥
 ------- RAA
   ¬Q
----------- (→I)(1)
   P→¬Q
-----------
      ⊥
------------ (¬I)
¬(P→¬Q)

Devo dimostrare in deduzione naturale anche le regole di eliminazione della disgiunzione e della congiunzione?

« Last Edit: 15-02-2019, 20:49:13 by maujeri » Logged
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