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Author Topic: serie segni alterni  (Read 6535 times)
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flashato90
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« on: 09-01-2010, 10:57:37 »

Salve...avendo di fronte una serie a segni alterni e avendo applicato il criterio di leibniz (ma non va perche il limite risulta +inf)...avendo poi applicato un teorema sulle serie a segni alterni (le cui condizioni affinche la serie sia oscillante sono che |an|sia non decrescente,e neanche questo va perche la serie non risulta "non decrescente").......che altro posso fare dire o applicare???ps:l'unica cosa che so è che per n dispari la serie è a termini pèositivi ed è anche divergente avendo lim an=+inf....
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XDnl
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« Reply #1 on: 09-01-2010, 11:36:12 »

Ciao flashato90! Smiley
Qual'è il termine generale della serie? Sei sicuro che sia a segni alterni (e non a segni variabili)?
In base alla monotonia della successione Link Immagine ci sono due teoremi.

Se Link Immagine è non crescente (o decrescente) puoi applicare Leibniz.
Se il limite ti viene zero, allora la serie è convergente, altrimenti è oscillante.

Se Link Immagine è non decrescente (o anche crescente) puoi applicare il teorema che hai detto tu,  concludendo che la serie è oscillante.

In alternativa, potresti provare a studiare l'assoluta convergenza della serie.
« Last Edit: 09-01-2010, 13:15:16 by XDnl » Logged
flashato90
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« Reply #2 on: 09-01-2010, 11:43:07 »

 ehi xDnl ciao!! cmq mi riferisco all'esercizio che la prof ha lasciato prima delle vacanze...precesamente l'ultimo!! quello SERIE: [4^n + (-3)^(n+1)]*(n^2  + 1)/(2n^2 + 1)....
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XDnl
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« Reply #3 on: 09-01-2010, 11:48:49 »

E' questa la serie (tanto per non fare calcoli inutili..)?

Link Immagine
« Last Edit: 09-01-2010, 12:59:49 by XDnl » Logged
flashato90
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« Reply #4 on: 09-01-2010, 12:06:00 »

sisi..io l'avevo scritta in forma leggermente differente..ma è identica...a me in base ai calcolo risulta oscillante...non so se è giusta!
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XDnl
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« Reply #5 on: 09-01-2010, 12:31:38 »

Verifichiamo la condizione necessaria per la convergenza delle serie:

Link Immagine

Link Immagine

Il secondo fattore converge a Link Immagine.

Studiamo il limite del primo fattore:

Link Immagine
Link Immagine

Quindi
Link Immagine

Poichè il limite del termine generale non è zero, la serie non converge.
edit:
Il segno del termine generale è un po' "paricolare", infatti esso dipende solamente da
Link Immagine.

Risolvendo la disequazione:
Link Immagine

Ora, per n dispari è sicuramente falsa.
Mentre per n pari è verificata solo per n = 2.
Per ottenere quest'ultimo risultato ho calcolato i primi 10 termini con Derive, ottenendo:
Link Immagine

In definitiva il termine generale è negativo solo per n = 2.
A questo punto consideriamo la serie resto di posto 2:
Link Immagine. Quest'ultima serie è a termini positivi e per il limite calcolato in precedenza diverge (ed in questo caso possiamo dire che diverge positivamente).
Poichè una serie ha lo stesso carattere di un qualsiasi suo resto, possiamo finalmente concludere che
Link Immagine diverge positivamente.

(lo so, ci deve essere un  modo più "elegante" per affrontare la cosa, ma per ora non mi viene in mente altro)
« Last Edit: 09-01-2010, 17:41:12 by XDnl » Logged
Daréios89
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« Reply #6 on: 09-01-2010, 13:39:04 »

Ma quindi quando si applica il criterio di Leibniz, se la serie è oscillante non ci si ferma lì?

Ma il limite:

Link Immagine

Quale forma indeterminata c'è?
non risulta:
4^inf= inf
(-3)^n+1=0  ----> Quindi inf+0 = inf

Cosa sbaglio?

Come l'hai sviluppato?
Hai messo in evidenza 4^n ma non capisco (-3)(-3/4)^n
Sembra corretto il ragionamento per cui diverge.
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"Utilizzare sempre de l'Hôpital.....è come andare a caccia di farfalle con un bazooka".
XDnl
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« Reply #7 on: 09-01-2010, 13:47:26 »

Ma quindi quando si applica il criterio di Leibniz, se la serie è oscillante non ci si ferma lì?
Per applicare il criterio di Leibniz, bisogna assicurarsi che la serie sia a segni alterni che la successione dei valori assoluti sia decrescente (oppure non crescente) (vedi l'edit al mio post precedente)

non risulta:
(-3)^n+1=0
Per quanto riguarda Link Immagine esso non esiste! (è un po' come Link Immagine)

Hai messo in evidenza 4^n ma non capisco (-3)(-3/4)^n
Ho cercato di portare l'esponente da n + 1 ad n. Ho semplicemente "portato fuori" un termine della potenza:

Link Immagine

Poi ho diviso per 4^n (ricorda che sto mettendo in comune 4^n) ottenendo:
Link Immagine
« Last Edit: 09-01-2010, 13:54:27 by XDnl » Logged
Daréios89
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« Reply #8 on: 09-01-2010, 14:54:18 »

AAAAAH certo, per le proprietà delle potenze  cry
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« Reply #9 on: 09-01-2010, 16:02:20 »


Per applicare il criterio di Leibniz, bisogna assicurarsi che la serie sia a segni alterni che la successione dei valori assoluti sia decrescente (oppure non crescente) (vedi l'edit al mio post precedente)


per applicare Leibniz bisogna bisogna cercare di far figurare la successione a(n) a segno alterno (-1)^n  e vedere come si comporta b(n) cioè se è monotona non decrescente o non crescente  e se lim a(n) è uguale o diverso da 0....la successione dei valori assoluti non capisco dove possa esserci utile....
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AngelEvil
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« Reply #10 on: 09-01-2010, 16:04:22 »


Per applicare il criterio di Leibniz, bisogna assicurarsi che la serie sia a segni alterni che la successione dei valori assoluti sia decrescente (oppure non crescente) (vedi l'edit al mio post precedente)


per applicare Leibniz bisogna bisogna cercare di far figurare la successione a(n) a segno alterno (-1)^n  e vedere come si comporta b(n) cioè se è monotona non decrescente o non crescente  e se lim a(n) è uguale o diverso da 0....

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flashato90
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« Reply #11 on: 09-01-2010, 16:14:15 »

Xdnl ma dal momento che tu hai visto che il limite del termine generale era > 0  (di preciso + inf)...non potevi benissimo dire che la serie divergeva???cioe è stato inutile lo studio successivo che hai fatto....oppure no???XD
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XDnl
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« Reply #12 on: 09-01-2010, 16:20:05 »

Negli appunti ho scritto:
Criterio di Leibniz
Sia Link Immagine una serie numerica a segni alterni.
Supponiamo che Link Immagine sia non crescente (o anche decrescente):
1) Se Link Immagine allora la serie è convergente e denotata con Sn.. (bla bla bla, non ci interessa nel nostro caso  [Emoticon] Asd)

2) Se Link Immagine allora la serie è oscillante.

In ogni caso la serie data non è a segni alterni (sempre se non ho sbagliato a fare calcoli  [Emoticon] Asd) ma piuttosto il termine generale è definitivamente positivo.

Stavo provando a dimostrare che è negativo solo per n = 2, in modo più "pulito" senza ricorrere al Derive (visto che poi nel compito non ci sarà ovviamente  pc)...

@flashato90: Con quel limite posso solo dire che la serie non converge, ma non posso dire se essa diverge positivamente o negativamente oppure è oscillante.Questo lo posso dire solo se trovo che la serie è a termini non-negativi (e quindi anche positivi)!
La condizione necessaria per la convergenza dice infatti che
Link Immagine
il che equivale a dire
Link Immagine
Ma la parola "non convergente" non significa automaticamente divergente positivamente!
Nel caso in cui la serie sia a a termini non-negativi, c'è un teorema che dice che la serie:
1) Converge
2) Diverge positivamente
Solo nel caso in cui la serie sia a termini non-negativi, possiamo dire che se non converge allora diverge positivamente!
« Last Edit: 09-01-2010, 16:28:58 by XDnl » Logged
flashato90
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« Reply #13 on: 09-01-2010, 16:25:00 »

penso di aver afferrato...cioe praticamente la serie potrebbe essere div a +inf oppure -inf ...tu provando che la serie è a termine neg solo per n=2 e per tutti gli altri valore è positiva (se non ric male))concludi che diverge essendo serie resto la serie che va da n=3 a + inf....forse sn stato poco chiaro...XD nello scrivere...
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AngelEvil
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« Reply #14 on: 09-01-2010, 16:30:05 »

Negli appunti ho scritto:
Criterio di Leibniz
Sia Link Immagine una serie numerica a segni alterni.
Supponiamo che Link Immagine sia non crescente (o anche decrescente):
1) Se Link Immagine allora la serie è convergente e denotata con Sn.. (bla bla bla, non ci interessa nel nostro caso  [Emoticon] Asd)

2) Se Link Immagine allora la serie è oscillante.

In ogni caso la serie data non è a segni alterni (sempre se non ho sbagliato a fare calcoli  [Emoticon] Asd) ma piuttosto il termine generale è definitivamente positivo.

Stavo provando a dimostrare che è negativo solo per n = 2, in modo più "pulito" senza ricorrere al Derive (visto che poi nel compito non ci sarà ovviamente  pc)...

@flashato90: Con quel limite posso solo dire che la serie non converge, ma non posso dire se essa diverge positivamente o negativamente oppure è oscillante.Questo lo posso dire solo se trovo che la serie è a termini non-negativi (e quindi anche positivi)!

non è così...la serie è del tipo:

Link Immagine


EDIT:
se non ti fidi dei miei appunti puoi andare a pag 158-159 del G.Emmanuele.... ok
« Last Edit: 09-01-2010, 16:31:38 by AngelEvil » Logged

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