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Author Topic: Dubbio sul concetto di termini positivi e negativi  (Read 4075 times)
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Daréios89
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« on: 07-01-2010, 18:41:24 »

In un pdf sulle serie trovo scritto di risolvere con vari criterie alcune serie numeriche, ma c'è scritto che sono tutte a termini positivi.

Per definizione dovrebbero essere a termini positivi se an>0 e a termini non negativi se an>=0.
Ora mi chiedevo intanto se an fosse 0.5 o 0.2, si considera come serie a termini positivi poichè è maggiore di zero?

Questa serie è nel pdf(che ricordo dice che le serie sono tutte a termini positivi)

Link Immagine

Ma per n=0 an non vale 0? Quindi non dovrebbe essere a termini negativi?
Perchè nel pdf vedo applicato il criterio del rapporto?

Come la risolvereste?
« Last Edit: 07-01-2010, 18:48:31 by guitarplaying » Logged

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« Reply #1 on: 07-01-2010, 19:30:58 »

È passato fin troppo tempo per ricordarmi come si risolvevano queste cose (ma basterebbe una rapida occhiata alla teoria -cosa che non farò nono- per ricordarmi tutto ).

Ad ogni modo, mi viene in mente che se vuoi studiare una serie di questo tipo, e volessi utilizzare della teoria che riguarda "solo" le serie a termini positivi (cioè in cui Link Immagine), puoi considerare che:

Link Immagine

di conseguenza puoi studiare tranquillamente il comportamento dell'ultima espressione della stessa identica serie iniziale, in cui gli elementi sono sicuramente tutti positivi, perché bensì qualsiasi numero > 0 è positivo boh (anche 0,5 e 0,2  univ).
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« Reply #2 on: 07-01-2010, 19:53:28 »

Il mio problema è che se una serie è a termini positivi o non negativi si devono usare i relativi teoremi, se la nostra serie per n=0 è uguale a 0 vuol dire che è a termini non negativi, e siccome il criterio del rapporto vale per le serie a termini positivi, se la condizione vuole che una serie per essere a termini positivi sia solo an>0 e non an>0, siccome la nostra è =0 è a termini non negativi, quindi perchè applichiamo un teorema che è per altre serie?

P.S. la differenza tra termini negativi e positivi è solo nel in quel >, >= ?
Se è così non riesco a capire perchè sia corretto usare il criterio del rapporto.
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« Reply #3 on: 08-01-2010, 00:21:59 »

Un numero Link Immagineè detto positivo se Link Immagine

Un numero Link Immagine è detto non negativo se Link Immagine cioè se Link Immagine oppure Link Immagine è positivo.

Di conseguenza un numero positivo è anche un numero non negativo .
Mentre non è detto che un numero non negativo sia positivo .

Un elemento Link Immagine di una serie Link Immagine è un numero.

Una serie è una somma di una infinità numerabile di numeri.
Il fatto che ogni suo elemento sia caratterizzato da un numero naturale è solo un modo conveniente di rappresentarle.
Ho dimostrato che per studiare la serie a termini non negativi precedente, puoi ottenere gli stessi risultati studiando una serie equivalente a termini positivi:

Link Immagine

Il fatto che questa serie abbia gli indici che iniziano per 1 e non per 0 non deve spaventarti.
È molto semplice convertirla in una serie sempre a termini positivi ma con indici che iniziano da 0 nel seguente modo:

Link Immagine

Adesso puoi tranquillamente usare i teoremi che valgono per le serie a termini positivi (poiché la serie è a termini positivi) oppure anche quelli che valgono per le serie a termini non negativi (cosa che potevi fare anche prima, però), su una serie in cui il termine è definito da una espressione leggermente più complicata però, come puoi tu stesso vedere .

Cosa dice il criterio del rapporto?
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« Reply #4 on: 08-01-2010, 14:32:53 »

 I

Allora credo di aver capito dove sbagliavo, il fatto che anche quando una serie sia a termini positivi trovo usati criteri per le serie a termini non negativi va bene perchè una serie a termini positivi è anche una serie a termini non negativi.

Una piccola cosa, nello svolgere la serie con il criterio del rapporto, mi trovo davanti a

3^n
-------
3^n+1

Che fa 1/3, però io sbagliavo perchè nella mia testa facevo:

3^(n-n+1)
quindi mi rimane 3 e non capisco dove sbaglio.

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« Reply #5 on: 08-01-2010, 17:35:54 »

Allora credo di aver capito dove sbagliavo, il fatto che anche quando una serie sia a termini positivi trovo usati criteri per le serie a termini non negativi va bene perchè una serie a termini positivi è anche una serie a termini non negativi.
Esattamente. Bravo.

Una piccola cosa, nello svolgere la serie con il criterio del rapporto, mi trovo davanti a

3^n
-------
3^n+1

Che fa 1/3, però io sbagliavo perchè nella mia testa facevo:

3^(n-n+1)
quindi mi rimane 3 e non capisco dove sbaglio.
Hai confuso i tempi coniugando i verbi "sbagliare" e "capire".
Avevi un dubbio e l'hai risolto? Oppure hai anche adesso questo dubbio?
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« Reply #6 on: 08-01-2010, 19:06:59 »

Cioè so che fa 1/3 perchè lo trovo in un pdf, ma non capisco perchè.
No non l'ho risolto  testate
E' una banale passaggio con le proprietà delle potenze, ma a me risulta 3 e non 1/3.
Non so perchè sbaglio. Ho scritto sopra cosa ho fatto.
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« Reply #7 on: 08-01-2010, 19:21:04 »

Ah, ok.

Beh, è molto semplice, però non ti devi ingarbugliare con i segni !

Quando hai una espressione del tipo Link Immagine si ha la seguente catena di eguaglianze:
Link Immagine

Adesso, nel tuo caso tu hai:
Link Immagine

Per cui si ha:
Link Immagine

Ed infine:
Link Immagine

Hai semplicemente dimenticato di considerare l'opposto di tutto c, cioè di racchiuderlo tra parentesi prima di sottrarre .
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« Reply #8 on: 08-01-2010, 19:59:20 »

Analisi l'hai data parecchio tempo fa....ma immagino con 30  yoh
Questo ovviamente è un calcolo che non rientra nel programma, ma forse senza di te questa sezione sarebbe molto morta.
Un mille grazio allo zio Reverse 
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