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Author Topic: Due serie a termini non negativi  (Read 1173 times)
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Daréios89
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La musica è la forma d'arte suprema.


« on: 10-01-2010, 14:41:53 »

Link Immagine

con x>0

Dovrebbe risultare convergente per x compreso tra 0 e 1/5, e divergente per x>=1/5

Ma non capisco da dove viene fuori quel 1/5.
Io avrei detto semplicemente che converge per   0<x<1.

In questa:

Link Immagine

Risulta convergente, ma non so verificarlo.
Il limite del termine generale an vale 0, ma non so quale criterio applicare, ho provato con il criterio del rapporto ma mi ingarbuglio nei calcoli.

Potreste aiutarmi?
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"Utilizzare sempre de l'Hôpital.....è come andare a caccia di farfalle con un bazooka".
XDnl
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« Reply #1 on: 10-01-2010, 15:23:25 »

Per quanto riguarda la seconda serie:
Link Immagine
Prima di tutto studiamo il segno del termine generale
Poichè Link Immagine

Possiamo concludere che la serie è a termini positivi.

Applichiamo il criterio del rapporto (cioè calcoliamo Link Immagine):

Link Immagine
Già qui si capisce che il limite vale zero, infatti al numeratore abbiamo il cubo di un binomio (e quindi il termine di grado massimo sarà 3), mentre al denominatore abbiano n3 che moltiplica (n + 1) e quindi avremo un termine di grado 4. Poichè Link Immagine possiamo concludere che la serie è convergente.


Prima serie (la spiegazione non è completa, ci sto lavorando):
Link Immagine con x > 0.
Innanzitutto studiamo bene il segno del termine generale:
Link Immagine
quindi la serie è a termini positivi (con R+ intendo x > 0).
Verifichiamo la condizione necessaria per la convergenza:
Link Immagine
Quindi la serie non converge (e poichè è a termini positivi, allora diverge positivamente) per x >=1 mentre per 0 < x < 1 non possiamo dire nulla poichè c'è la forma indeterminata.
Per ora mi fermo qui, ci sto studiando su carta...  [Emoticon] Asd
EDIT:
Sembra che applicando direttamente il criterio della radice si arrivi subito alla soluzione completa, infatti:
Link Immagine
solo che non riesco a provare questo limite. Tralasciando questo piccolo "dettaglio", si trova subito il carattere della serie, infatti
5x >  1 => x > 1 / 5 la serie diverge positivamente
5x < 1 => x < 1 / 5 la serie converge.
Resta il caso x = 1/5.
Proviamo a studiare il limite riscrivendolo nel seguente modo:
Link Immagine
Per x = 1/5 abbiamo Link Immagine quindi anche per x = 1 / 5 la serie diverge positivamente.
« Last Edit: 10-01-2010, 17:28:13 by XDnl » Logged
Daréios89
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« Reply #2 on: 10-01-2010, 15:37:30 »

Ti ringrazio intanto per quello che hai fatto, chiarissimo 
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flashato90
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« Reply #3 on: 10-01-2010, 17:02:12 »

Ciao ragazzi...per risolvere l'intera serie c'e un metodo altrenativo(molto simile a quello di xdnl)...noi sappiamo che al variare di x varie l'intera serie.
Possiamo ragionare nel seguente modo: se x=0 --->la serie converge (logico tutti i termini sono 0)
    se x=1 ---> la serie diverge a + inf
 se x>1 ---> diverge a + inf
 
Studiamo adesso per    0<x<1:
 applichiamo il criterio del rapporto: --->facendo tutti i calcoli otteniamo lim =5x

           quindi    se      0<5x<1    ----> cioè    0<x<1/5 ---->converge  (lo dice il criterio del rapporto)

                       se   5x>1 --->cioè x>1/5 --->la serie diverge (lo dice il criterio del rapporto)

adesso vediamo se x =1/5 ----> il limite=1  (il criterio del rapporto non ci permette di dire nulla)

allora sostituiamo 1/5 alla serie iniziale ---->ottenendo  +inf (cioè la serie diverge)


fine

Forse sono stato poco chiaro... e sintetico nei passaggi...ma il ragionamento è il risultato penso siano giusti...che ne pensate??
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XDnl
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« Reply #4 on: 10-01-2010, 17:13:19 »

Possiamo ragionare nel seguente modo: se x=0 --->la serie converge (logico tutti i termini sono 0)
Nel testo però specifica x > 0.
 
Studiamo adesso per    0<x<1:
 applichiamo il criterio del rapporto: --->facendo tutti i calcoli otteniamo lim =5x

AAHHH HO CAPITO! XD
Si, in effetti conviene applicare il criterio del rapporto!  pray

allora sostituiamo 1/5 alla serie iniziale ---->ottenendo  +inf (cioè la serie diverge)
Facendo questa sostituzione, ottieni +inf facendo cosa?
« Last Edit: 10-01-2010, 17:27:22 by XDnl » Logged
Daréios89
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« Reply #5 on: 10-01-2010, 20:17:52 »

Sbaglio al solito con le potenze, mi pare che il limite si risolva basandosi sulle proprietà delle potenze, per cui:

Link Immagine

E poi a me viene:

Link Immagine

E quindi eliminando solo n-n mi verrebbe 8x, non 5x.
Dove sbaglio?
« Last Edit: 10-01-2010, 20:29:01 by guitarplaying » Logged

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flashato90
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« Reply #6 on: 10-01-2010, 21:20:16 »

XDnl sostituendo 1/5 alla serie iniziale...e cio lo faccio perche per x=1/5 ottengo lim=1  ---->sostituisco 1/5 alla x che figura nella serie iniziale...ok?? 
« Last Edit: 10-01-2010, 21:21:54 by flashato90 » Logged
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« Reply #7 on: 10-01-2010, 22:21:59 »

Ecco il nefasto limite step by step  univ:
Link Immagine

@flashato90: Sostituendo 1/5 alla serie iniziale:
Link Immagine
Perfetto...   nel mio post mi ero complicato la vita inutilmente  boh

Comunque, in questo link http://www.dm.unipi.it/pages/tarsia/public_html/didattica/serie.pdf  c'è un pdf con dei buoni esercizi
« Last Edit: 10-01-2010, 22:24:46 by XDnl » Logged
flashato90
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« Reply #8 on: 10-01-2010, 22:44:54 »

vero xdnl viene lim =1 non lim =+inf ...possiamo dire che diverge!..!!!giusto?
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« Reply #9 on: 10-01-2010, 22:46:43 »

Se il limite non viene zero allora la serie non converge. Poichè abbiamo visto che era a termini positivi, allora possiamo dire tranquillamente che diverge positivamente!
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Daréios89
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« Reply #10 on: 10-01-2010, 22:46:49 »

Forse si, si può dire che diverge, non avrei mai pensato di fare in quel modo il limite  
Grazie ragazzi!
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