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Author Topic: Esercizio metodo coeff. indeterminanti  (Read 3856 times)
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Angelo
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« on: 26-12-2008, 11:26:01 »

trovare, con il metodo dei coefficienti indeterminati, p(x)=P3, soddisfacente le condizioni:

P(-1)= -6 , p(0)= -3 , p(1)= 0 , p(2)= 15

COME VI RISULTA?

a me: a= -3/4 , b= 0 , c= 15/4 , d= -3
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mafalda
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« Reply #1 on: 07-01-2009, 16:48:18 »

Io l'ho fatto, non so se è giusto...
a me risulta così:
6x^2 - 3x + 3
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...๔єςเ, ๔єςเ, ๔єςเ...
mafalda
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« Reply #2 on: 08-01-2009, 18:32:40 »

Nessuno gentilmente può aiutarmi???
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Acicatena86
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« Reply #3 on: 08-01-2009, 19:04:33 »

Ciao scusa il ritaro  . Comunque a me risulta  2x3+x-3

Che bello 3 soluzioni diverse
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mafalda
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« Reply #4 on: 08-01-2009, 19:41:16 »

  ...e allora qual'è la soluzione giusta?
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« Reply #5 on: 09-01-2009, 02:10:54 »

COME VI RISULTA?

a me: a= -3/4 , b= 0 , c= 15/4 , d= -3
Errato. Per provare che la tua soluzione è sbagliata mi basta considerare p (-1) che nel tuo caso vale 6 (mentre doveva essere -6).
a me risulta così:
6x^2 - 3x + 3
Anche in questo caso è errato. Per provare che la tua soluzione è sbagliata mi basta considerare nuovamente p (-1) che nel tuo caso vale 12 (mentre doveva essere -6).
Ciao scusa il ritaro  . Comunque a me risulta  2x3+x-3
Stavolta i test sui valori di p applicati ai quattro punti non presentano problemi, quindi potremmo essere sulla giusta strada. Per verificarlo, vediamo come calcolare i coefficienti in p.
Innanzitutti notiamo che p deve passare per n=4 punti, di conseguenza il grado di p deve essere n-1=3, cioè p ha le potenze di x fino alla terza.

Bisogna risolvere quindi il seguente sistema espresso in forma matriciale:

  x⁰  x   x²  x³
╭               ╮ ╭   ╮   ╭    ╮
│ 1  -1   1  -1 │ │ a │   │ -6 │
│ 1   0   0   0 │ │ b │ = │ -3 │
│ 1   1   1   1 │ │ c │   │  0 │
│ 1   2   4   8 │ │ d │   │ 15 │
╰               ╯ ╰   ╯   ╰    ╯


Risolviamo il sistema in forma di equazioni ora (a è già noto in partenza, come si vede):

│ a - b + c - d = -6
┤ a = -3
│ a + b + c + d = 0
│ a + 2b + 4c + 8d = 15


Sostituisco a = -3 dalla seconda nelle altre tre:

│ - b + c - d = -6
┤ a = -3
│ + b + c + d = 3
│ + 2b + 4c + 8d = 18


Sommo la terza alla prima e la sostituisco la prima con tale somma:

│ + 2c = 0
┤ a = -3
│ + b + c + d = 3
│ + 2b + 4c + 8d = 18


Divido per 2 la prima (ottenendo il valore di c):

│ c = 0
┤ a = -3
│ + b + c + d = 3
│ + 2b + 4c + 8d = 18


Sostituisco c = 0 appena trovato nelle ultime due:

│ c = 0
┤ a = -3
│ + b + d = 3
│ + 2b + 8d = 18


Moltiplico per -2 la terza:

│ c = 0
┤ a = -3
│ - 2b - 2d = - 6
│ + 2b + 8d = 18


Sommo la quarta e la terza e sostituisco la terza con tale somma:

│ c = 0
┤ a = -3
│ + 6d = 12
│ + 2b + 8d = 18


Divido per 6 la terza (ottenendo il valore di d):

│ c = 0
┤ a = -3
│ d = 2
│ + 2b + 8d = 18


Sostituisco d = 2 nella quarta:

│ c = 0
┤ a = -3
│ d = 2
│ + 2b = 2


Divido per 2 la quarta (ottenendo il valore di b):

│ c = 0
┤ a = -3
│ d = 2
│ b = 1


Alla fine ottengo a = -3, b = 1, c = 0, d = 2, cioè il polinomio p (x) è dato da
p (x) = 2x3 + x - 3

come aveva giustamente risposto Acicatena86.

Ciao .
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La grande marcia della distruzione mentale proseguirà. Tutto verrà negato. Tutto diventerà un credo. È un atteggiamento ragionevole negare l'esistenza delle pietre sulla strada; sarà un dogma religioso affermarla. È una tesi razionale pensare di vivere tutti in un sogno; sarà un esempio di saggezza mistica affermare che siamo tutti svegli. Accenderemo fuochi per testimoniare che due più due fa quattro. Sguaineremo spade per dimostrare che le foglie sono verdi in estate. Non ci resterà quindi che difendere non solo le incredibili virtù e saggezze della vita umana, ma qualcosa di ancora più incredibile: questo immenso, impossibile universo che ci guarda dritto negli occhi. Combatteremo per i prodigi visibili come se fossero invisibili. Guarderemo l'erba e i cieli impossibili con uno strano coraggio. Saremo tra coloro che hanno visto eppure hanno creduto.

In tutto, amare e servire.

  
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Angelo
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« Reply #6 on: 09-01-2009, 10:21:50 »

reverse, la prossima settimana quando hai 2 minuti di tempo, mi devi dare una dritta su un paio di esercizi.. Cheesy
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mafalda
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« Reply #7 on: 09-01-2009, 14:19:09 »

Grazie mille reverse...sei stato gentilissimo e chiarissimo...
 
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francesco85
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« Reply #8 on: 15-01-2009, 16:06:25 »

perche il polinomio viene p (x) = 2x^3 + x - 3????il polinomio non dovrebbe essere  p(x)=ax^3+bx^2+cx+d e quindi

p(x)=-3x^3+x^2+2?Huh???


aiutatemiiiiiii
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Timmy
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« Reply #9 on: 20-01-2009, 16:18:20 »

perche il polinomio viene p (x) = 2x^3 + x - 3????il polinomio non dovrebbe essere  p(x)=ax^3+bx^2+cx+d e quindi

p(x)=-3x^3+x^2+2?Huh???


aiutatemiiiiiii

Anche io penso debba essere così...
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« Reply #10 on: 21-01-2009, 01:26:32 »

perche il polinomio viene p (x) = 2x^3 + x - 3????il polinomio non dovrebbe essere  p(x)=ax^3+bx^2+cx+d e quindi

p(x)=-3x^3+x^2+2?Huh???


aiutatemiiiiiii
Errato.
È sufficiente calcolare p (x) su 3 dei 4 valori proposti per vedere che il polinomio da voi descritto non è quello corretto.

Il vostro errore nasce dalla malcompresione di chi sono a, b, c, e d.

Ora vi spiego meglio.
Siano (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) gli n punti per cui deve passare il polinomio da cercare.

L'equazione matriciale in forma generale da risolvere è la seguente:

╭                                         ╮ ╭    ╮   ╭    ╮
│ (x₁)⁰   (x₁)¹   (x₁)²   .....   (x₁)ⁿ⁻¹ │ │ k₁ │   │ y₁ │
│ (x₂)⁰   (x₂)¹   (x₂)²   .....   (x₂)ⁿ⁻¹ │ │ k₂ │ = │ y₂ │
│ .....   .....   .....   .....   ....... | | .. |   | .. |
│ (xn)⁰   (xn)¹   (xn)²   .....   (xn)ⁿ⁻¹ │ │ kn │   │ yn │
╰                                         ╯ ╰    ╯   ╰    ╯

che è equivalente alla risoluzione del seguente sistema:


│ k₁(x₁)⁰ + k₂(x₁)¹ + ... + kn(x₁)ⁿ⁻¹ = y₁
┤ k₁(x₂)⁰ + k₂(x₂)¹ + ... + kn(x₂)ⁿ⁻¹ = y₂
│ ....... + ....... + ... + ......... = ..
│ k₁(xn)⁰ + k₂(xn)¹ + ... + kn(xn)ⁿ⁻¹ = yn



dove si nota chiaramente che a moltiplicare (x1)0 (cioè a moltiplicare 1) è proprio il termine k1, che nel nostro esercizio è a, quindi a è il termine noto, e ha moltiplicare (xn)n-1 (la x di grado massimo) è proprio kn, che nel nostro esercizio è d.
Le lettere a, b, c, d sono rispettivamente i coefficienti di x0, x, x2, x3 in ordine inverso a quello che avete presunto di volere applicare nelle vostre errate osservazioni.

Si deve fare attenzione in questo procedimento perché nel caso in cui una x per cui passa il polinomio fosse proprio il numero 0, in tale caso si deve scrivere 1 nella riga relativa alla posizione per (x)0.


Chiaro ora ?
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Rosa Maria Pidatella
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« Reply #11 on: 21-01-2009, 08:29:33 »

Non ha importanza se si imposta p(x)=ax^3+bx^2+cx+d  oppure p(x)=a+bx^2+cx^2+dx^3.
Infatti il sistema sarà diverso nei due casi e di conseguenza anche i valori di a, b,c,d nei due rispettivi casi. Cercate di non impostare il sistema senza capire da dove è venuto fuori. Capire è l'unico modo per non imparare a memoria e rischiare di fare confusione. Buon lavoro.
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Timmy
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« Reply #12 on: 21-01-2009, 11:28:31 »

Grazie, ora è tutto più chiaro  ok
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Rosa Maria Pidatella
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« Reply #13 on: 21-01-2009, 15:56:07 »

prego. 
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