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Author Topic: Come posso calcolare questo limite a due variabili?  (Read 5202 times)
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Blonic
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« on: 19-06-2010, 17:15:23 »

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(y-x)^2\sqrt|x|}{x^2+y^2}
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Daréios89
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« Reply #1 on: 19-06-2010, 19:46:13 »

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(y-x)^2\sqrt|x|}{x^2+y^2}


Mh...sto dando un' occhiata veloce, magari dopo provo anche io, hai provato a fare qualche restrizione?

Per esempio ponendo y=x ?

Forse dopo si può fare qualche confronto...
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cock86
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« Reply #2 on: 19-06-2010, 22:24:55 »

proprio come dice daerios!
se non mi sbaglio...
se restringi per gli assi e per la bisettrice fa sempre zero.
Poi il confronto non mi sembra particolarmente difficile:
la radice di x la fai diventare x^2+y^2in un paio di passaggi e la semplifichi con il denominatore. E il limite va a zero. Per confronto il limite iniziale dovrebbe tendere a zero!
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cock86
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« Reply #3 on: 19-06-2010, 22:31:33 »

o meglio ancora ricavi da (x-y)^2 dopo un paio di passaggi x^2+y^2 che ancora una volta semplifichi!
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Blonic
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« Reply #4 on: 20-06-2010, 10:40:52 »

La soluzione migliore sembrerebbe essere la seconda di cock, ma ancora non ho capito bene...
Tanto per poterlo imparare io mi potreste spiegare come avrei dovuto procedere con i confronti?
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Daréios89
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« Reply #5 on: 20-06-2010, 11:12:54 »

la radice di x la fai diventare x^2+y^2in un paio di passaggi e la semplifichi con il denominatore. E il limite va a zero. Per confronto il limite iniziale dovrebbe tendere a zero!

Non ho capito come fai a rendere la radice pari a x^2+y^2
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Più grande è la lotta, e più è glorioso il trionfo


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« Reply #6 on: 20-06-2010, 13:34:46 »

Credo che le semplificazioni che ha fatto il collega siano le seguenti:
\fs{5}\frac{\{{y-x}\}^2\sqrt{\|{x}\|}}{x^2+y^2}=\frac{\({y^2+x^2-2xy}\)\sqrt{\|{x}\|}}{x^2+y^2}=\frac{\({x^2+y^2}\)\({1-\frac{2xy}{x^2+y^2}}\)\sqrt{\|{x}\|}}{x^2+y^2}=\({1-\frac{2xy}{x^2+y^2}}\)\sqrt{\|{x}\|}
 
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La grande marcia della distruzione mentale proseguirà. Tutto verrà negato. Tutto diventerà un credo. È un atteggiamento ragionevole negare l'esistenza delle pietre sulla strada; sarà un dogma religioso affermarla. È una tesi razionale pensare di vivere tutti in un sogno; sarà un esempio di saggezza mistica affermare che siamo tutti svegli. Accenderemo fuochi per testimoniare che due più due fa quattro. Sguaineremo spade per dimostrare che le foglie sono verdi in estate. Non ci resterà quindi che difendere non solo le incredibili virtù e saggezze della vita umana, ma qualcosa di ancora più incredibile: questo immenso, impossibile universo che ci guarda dritto negli occhi. Combatteremo per i prodigi visibili come se fossero invisibili. Guarderemo l'erba e i cieli impossibili con uno strano coraggio. Saremo tra coloro che hanno visto eppure hanno creduto.

In tutto, amare e servire.

  
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« Reply #7 on: 20-06-2010, 13:44:47 »

ma in questo caso si avrebbe cmq un 0/0...
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cock86
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« Reply #8 on: 20-06-2010, 14:47:54 »

a dire il vero volevo dire questo
\fs{5}\frac{\{{y-x}\}^2\sqrt{\|{x}\|}}{x^2+y^2}<=\frac{\({y^2+x^2+2\|{xy}\|}\)\sqrt{\|{x}\|}}{x^2+y^2}<=\frac{\3({y^2+x^2}\)\sqrt{\|{x}\|}}{x^2+y^2}=3{\sqrt{\|{x}\|}}
che tende a 0.
Vi ricordo che la prima è in valore assoluto, che poi mi porto nel 2xy, lì ho saltato qualche passaggio se non è chiaro provo a svriverlo. E soprattutto vi ricordo che abbiamo l'opportunità di maggiorare per il confronto, non dobbiamo solo scrivere uguaglianze!
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« Reply #9 on: 20-06-2010, 16:27:12 »

Ma il fatto che tu abbia dimostrato che il limite è minore-uguale a 0 è sufficiente per dimostrare che esso sia 0?
Non dovresti anche dimostrare che è maggiore-uguale a 0?

Ma più in generale sareste così gentili da spiegarmi come si procede per maggiorazione e minorazione perchè ancora non ci ho capito nulla...
« Last Edit: 20-06-2010, 16:32:16 by Stai Zitto » Logged
cock86
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« Reply #10 on: 20-06-2010, 17:58:39 »

facciamo un pò d'ordine!
noi troviamo il presunto valore del limite con delle restrizioni (y=0, x=0, y=x, y=mx, y=x^2, ecc).
Per lo studio della continuità deve essere uguale a zero, trovato che per una o più restrizioni è tale, abbiamo due strada, o trovare una curva i.nl cui il limite è diverso da zero per provare che il limite non esiste (per esistere deve essere uguale per tutte le infinite curve), oppure dimostrare che il limite della nostra funzione è realmente zero!
In quest'ultimo caso non conviene provare tutte le restrizioni, perchè essendo infinite non finiremo mai. Allora applichiamo la dimostrazione (non ho ben capito come ma ci sto lavorando   ) e il tentativo di maggiorazione ci permette di dimostrarlo, cioè la nostra funzione (meno il limite nel nostro caso zero) in valore assoluto è maggiore o uguale a zero, allora ci basta trovarne una che la maggiori e che tenda anch'essa a zero per poter dire (per il teorema del confronto e per questo è importante la presenza della maggiorazione <= e soprattutto rispettarla tra una funzione e l'altra) che il limite della funzione d'origine è zero.

Come funziona la maggiorazione? lo scopo è appunto trovare una funzione che sia maggiore della nostra e che tenda a zero (spesso limiti notevoli).
come? beh all'inizio è difficile ma man mano che ci ragione diventa sempre più semplice.
Anzitutto trasferisci il valore assoluto dall'intera funzione a sole quelle a rischio di negativita, quindi tutti le eventuali potenze pari, radici logaritmi, e tutto ciò che sicuramente è positivo perde il valore assoluto.
Alcuni stratagemmi ci fanno passare da:
\|{x}\|<= x^2+y^2;
log(1+x)<= x;
senx <= x;
cosx <= x+1;
\|{xy}\|<= x^2+y^2;
x^2<=x^2+y^2;

questi e altre piccole strategie ci permettono di maggiorare la nostra funzione, semplificarla, e ricondurla ad una da limite immediato.
Nel nostro caso:
3 \sqrt{\|{x}\|};
che tende a zero sia da sinistra \( {0^-} \) che a destra\( {0^+} \).
« Last Edit: 21-06-2010, 13:35:46 by cock86 » Logged

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alex180788
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« Reply #11 on: 20-06-2010, 18:05:22 »

Ma il fatto che tu abbia dimostrato che il limite è minore-uguale a 0 è sufficiente per dimostrare che esso sia 0?
Non dovresti anche dimostrare che è maggiore-uguale a 0?


se guardi bene non è possibile che f sia negativa perché è prodotto di funzioni positive....

volevo chiedere a cock86 di spiegare meglio come ha fatto il secondo passaggio quando fa "sparire" 2|xy| e fa "comparire" quel 3 che moltiplica al numeratore.... ho capito che se i termini sono tutti positivi e togli qualcosa al numeratore sicuramente quello che ottieni è minore o uguale a quello di prima, ma perché compare quel 3 a moltiplicare??
io avrei usato questa maggiorazione    |x-y| <= |x|+|y| <= 2 √(x2+y2)

sostituendolo la radice va via e il radicando si semplifica con il denominatore... resta 4√|x| che tende a zero.
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7. Colleghi. Gli sviluppatori software devono essere leali e di supporto nei confronti dei loro colleghi.
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cock86
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« Reply #12 on: 20-06-2010, 18:10:36 »

ovviamente va bene anche in quel modo!!! poichè tende sempre a zero ed è maggiore.

comunque divise il valore assoluto di 2xy ad x e y. Poi li ho maggiorati con la radice del quadrato, e molitplicando mi è scomparsa la radice quindi ho messo in evidenza il due che moltiplica la somma dei due quadrati e con i due quadrati precedenti.
Adesso ho fretta se non è chiaro più tardi ti scrivo tutto in latex!
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« Reply #13 on: 20-06-2010, 18:18:01 »

Ma al posto di fare il confronto, non bastava fare come ha detto lo zio reversengineer?
Cioè col suo sistema praticamente otteniamo immediatamente che il limite fa 0, senza fare considerazioni o altri confronti.

P.S. intendo la soluzione di reverse però con il valore assoluto aggiunto in 2|xy|.

P. P. S....perchè dobbiamo mettere il valore assoluto?
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« Reply #14 on: 20-06-2010, 19:21:53 »

Vediamo se ho cominciato a capirci....
Così si può fare?

\frac{\left( y-x \right)^2\sqrt{|x|}}{x^2+y^2} = \frac{\left( y^2+x^2-2xy \right)\sqrt{|x|}}{x^2+y^2} \leq \frac{\left( y^2+x^2+2|xy| \right)\sqrt{|x|}}{x^2+y^2} = \frac{\left( x+y \right)^2\sqrt{|x|}}{x^2+y^2} \leq \frac{\left( x^2+y^2 \right)^2\sqrt{|x|}}{x^2+y^2} = \left( x^2+y^2 \right)\sqrt{|x|}

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