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Author Topic: Funzione di oggi, compito [A-L]  (Read 5089 times)
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Daréios89
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« on: 25-06-2010, 14:27:41 »

Cosa avete fatto per la differenziabilità e la continuità richiesta nel compito per la funzione a due variabili?
Se poteste mettere i calcoli per vedere di quanto mi sono sbagliato  testate
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XDnl
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« Reply #1 on: 25-06-2010, 14:45:36 »

Allora io ho fatto cosi':
f(x,y) è continua in (0, 0) sse Link Immagine

Con le restrizioni (ad es. y = |x|, y = x, ecc...) ottieni sempre zero. Per utilizzare il Teorema dei Carabinieri spezzo in due la frazione, studiando separatamente i limiti:
  • \fs{5}\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}
  • \fs{5}\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{y|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}

Per il primo limite ho utilizzato la seguente maggiorazione:
\fs{5}0 \leq \frac{2x^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq \frac{2x^2}{\sqrt{x^2}}\;\;\;\;\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2
Poichè il limite della frazione maggiorante è zero, posso concludere che il primo pezzo del limite originale vale zero.

Per il secondo limite non si puo' utilizzare direttamente il Teorema dei carabinieri, essendo il numeratore a segno variabile. Però, in generale si ha:
\fs{5}\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0 \Leftrightarrow \lim_{(x,y)\to(0,0)} |f(x,y)| = 0
Per cui, facendo il valore assoluto del secondo limite ottengo la seguente espressione:
\fs{5}\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}

che risolvo con la maggiorazione
\fs{5}0 \leq \frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq \frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\;\;\;\;\;\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2
Poichè il limite della funzione maggiorante è zero, allora anche questo secondo pezzo del limite originale converge a zero.
Da questo posso dire che il limite originale, essendo differenza di due funzioni convergenti a zero, converge a zero (ergo la funzione è continua nell'origine).
Per lo studio della differenziabilità basta osservare che la funzione non è derivabile parzialmente rispetto alla x in (0,0), per cui non è nemmeno ivi differenziabile.

P.S: Ovviamente nelle maggiorazioni è da escludere il punto (0, 0) che annulla il denominatore.
« Last Edit: 26-06-2010, 10:34:05 by XDnl » Logged
esteta84
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« Reply #2 on: 25-06-2010, 15:22:26 »

bah... non ho mai capito perchè a lezione si risolvono esercizi semplici e nei compiti c'è sempre fantascienza.
Secondo un mio parere il compito era eccessivamente complesso. Ero sicuro di potercela fare eppure me ne sono andato a casa demoralizzato.
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XDnl
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« Reply #3 on: 25-06-2010, 17:00:04 »

bah... non ho mai capito perchè a lezione si risolvono esercizi semplici e nei compiti c'è sempre fantascienza.
Beh, tieni conto che molto probabilmente c'è un modo più semplice di risolvere l'esercizio... io l'ho fatto in quel modo...
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cock86
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« Reply #4 on: 25-06-2010, 18:13:35 »

bah... non ho mai capito perchè a lezione si risolvono esercizi semplici e nei compiti c'è sempre fantascienza.
Secondo un mio parere il compito era eccessivamente complesso.
onestamente non sono d'accordo! trovo che gli esercizi fossero molto simili hai compiti passati! e per tanto non così eccessivamente complessi... ma è un mio parere!
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esteta84
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« Reply #5 on: 26-06-2010, 08:18:20 »

io ho fatto tutti i compiti dell'anno precedente e nel caso peggiore non riuscivo a fare 2 esercizi su 5 o 6.
Ieri sono riuscito a completare solo lo studio di funzione, la scomposizione della frazione della funzione a due variabili non era per nulla intuitiva o simile a quelle messe nei compiti dello scorso anno e nemmeno a quelli svolti in aula. L'ultimo limite sarà facile si, ma nn l'ho saputo fare, di integrale ne ho svolto solo 1 su 2, e lo studio della serie nn l'ho saputo fare. Sarà un mio problema lo so...
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cock86
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« Reply #6 on: 26-06-2010, 09:56:27 »

hugh... aspe! io ho visto quelli di Analitica II e mi riferivo a quelli, effettivamente non so gli altri com'erano. Però quelli mi sembravano molto simili agli esami degli anni passati.
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« Reply #7 on: 26-06-2010, 10:29:19 »

Avevi questi esercizi (tra gli altri)?:

  • \fs{7}\int \frac{e^x+1}{e^{2x}+4} dx, \fs{7}\int \frac{\sin{2x}}{2+\cos^2{x}} dx
  • Data la funzione
    \fs{7}f(x,y) = \left\{\begin{matrix}\frac{2x^2-y|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}\;\;\;\;per\;\;(x,y)\neq (0,0) & \\0 \;\;\;\;per\;\;(x,y) = (0,0) & \end{matrix}\right.
    Studiarne la continuità e differenziabilità in (0, 0).
« Last Edit: 26-06-2010, 10:32:58 by XDnl » Logged
cock86
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« Reply #8 on: 26-06-2010, 11:03:23 »

a chi ti riferisci? a me o esteta? io ho fatto esame con la Cilia.
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Zaibach
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« Reply #9 on: 26-06-2010, 13:39:29 »

Pardon ma perchè la funzione non dovrebbe essere derivabile parzialmente rispetto alla x in (0,0)??
La f(x,0) è 2x ad ogni x reale (perchè è 2x se x è diverso da 0, ed è 0 se x=0) e quindi la sua derivata è 2 ad ogni x reale (e quindi anche nel punto 0,0)...   o mi sbaglio?  

Cmq alla fine studiando la differenziabilità cn la definizione risultava che il limite di h,k... non era uguale a 0 (studiandolo con le restrizioni E alla funzione relativa) e quindi la funzione non era differenziabile in (0,0)...
« Last Edit: 26-06-2010, 13:49:13 by Zaibach » Logged
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« Reply #10 on: 26-06-2010, 13:49:39 »

@Cock86: Mi riferivo ad esteta, io sono del corso A-L (ho fatto pero' la prova in itinere, non il compito completo)

Pardon ma perchè la funzione non dovrebbe essere derivabile parzialmente rispetto alla x??? La f(x,0) è 2x ad ogni x reale (perchè è 2x se x è diverso da 0, ed è 0 se x=0) e quindi la sua derivata è 2 ad ogni x reale (e quindi anche nel punto 0,0)...   o mi sbaglio? 
Cmq alla fine studiando la differenziabilità cn la definizione risultava che il limite di h,k... non era uguale a 0 (studiandolo con le restrizioni E alla funzione relativa) e quindi la funzione non era differenziabile in (0,0)...
Ho fatto così:
\fs{5}f(x, y) = \frac{2x^2-y|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} \Rightarrow f(x, 0) = \left\{\begin{matrix}\frac{2x^2}{\sqrt{x^2}} = 2 \sqrt{x^2} = 2|x| \;\;\;\forall x \in \mathbb{R}, x \neq 0\\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;per\;\;x = 0\end{matrix}\right.
Quindi non esiste la derivata di f(x, 0) per x = 0, ossia f(x, y) non è derivabile parzialmente rispetto alla x in (0, 0).
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Zaibach
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« Reply #11 on: 26-06-2010, 15:00:30 »

Uff si hai ragione, che errore ###@@ che ho fatto nel compito ... ho semplificato il valore assoluto di x al denominatore con il quadro della x al numeratore e mi è rimasto 2x invece rimane 2 valore assoluto di x... bo speriamo bene perlomeno i procedimenti sono giusti T_T
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Daréios89
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« Reply #12 on: 26-06-2010, 17:12:46 »

Mh bene, sulla continuità ci siamo, davvero elegante  ok

Per la differenziabilità quindi se una funzione è differenziabile rispetto a x la derivata deve essere un qualunque valore diverso da 0?
Sul momento non capisco perchè dato che per x=0 la derivata vale 0, non è derivabile parzialmente, perchè la derivata parziale non può essere 0?

P.S...la derivata parziale comunque non si indica in quel modo vero?
« Last Edit: 26-06-2010, 17:17:31 by Daréios » Logged

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« Reply #13 on: 26-06-2010, 18:14:58 »

Mh bene, sulla continuità ci siamo, davvero elegante  ok
ok
Per la differenziabilità quindi se una funzione è differenziabile rispetto a x la derivata deve essere un qualunque valore diverso da 0?

Se una funzione è differenziabile in P0, allora deve avere entrambe le derivate parziali prime in P0 (con qualsiasi valore, basta che esistano).
Ovviamente non vale il converso.

Sul momento non capisco perchè dato che per x=0 la derivata vale 0, non è derivabile parzialmente, perchè la derivata parziale non può essere 0?
Nel post sopra ho scritto che la funzione non è derivabile parzialmente rispetto ad x in (0, 0).
Non ho detto che vale zero; la derivata (rispetto ad x) non esiste in quel punto.
Questo perchè essendo
\fs{5}f_x(0,0) = D[f(x, 0)]_{x=0}
da cui la derivata
\fs{5}D[f(x, 0)]_{x=0} = D[2|x|]_{x=0}
che non esiste.  
« Last Edit: 26-06-2010, 18:18:09 by XDnl » Logged
Daréios89
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« Reply #14 on: 26-06-2010, 18:54:12 »

Mh...ma se calcolando risulta 2|x|. Per x=0 abbiamo scritto diventa 0.
Quindi perchè non è derivabile?

O forse...siccome noi partiamo dal calcolarla per x=0, e troviamo come derivata 2|x| che non è unica perchè dipende da x, non esiste perchè la derivata deve essere unica e invece per x=0 avrei come come derivata:

2|x| oppure 0 in base ad x, quindi non essendo unica non esiste?
« Last Edit: 26-06-2010, 18:58:20 by Daréios » Logged

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