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LAUREA TRIENNALE (D.M. 270/04)
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Elementi di Analisi Matematica, 12 CFU
(Moderators:
Rita Cirmi
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Raffaella Cilia
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Funzione a due variabili
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Topic: Funzione a due variabili (Read 1953 times)
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Daréios89
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La musica è la forma d'arte suprema.
Funzione a due variabili
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on:
08-07-2010, 17:00:50 »
Vale questa se
altrimenti vale 0.
Devo verificare se è continua in
e se esistono le derivate parziali prime in quel punto.
Per la continuità, credo non lo sia, ho pensato che:
La seconda quantità dovrebbe tendere a
quindi per il 3° teorema del confronto il limite di partenza diverge.
Ora mi chiede per le funzioni ad una variabile se la funzione non è continua non è derivabile in un punto, qui mi pare non posso dire lo stesso, devo verificare tramite definizione che esistano le derivate parziali?
Ad occhio e croce per x dovrebbe essere:
Che praticamente fa 0, e anche per y. Quindi le derivate sono entrambe 0.
P.S Le derivate dovrebbero essere continue perchè coincidono con il valore che la funzione assume nel punto?
«
Last Edit: 08-07-2010, 17:07:27 by Daréios
»
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"Utilizzare sempre de l'Hôpital.....è come andare a caccia di farfalle con un bazooka".
thedog
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Re:Funzione a due variabili
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Reply #1 on:
09-07-2010, 12:18:26 »
Quote from: Daréios on 08-07-2010, 17:00:50
Vale questa se
altrimenti vale 0.
Devo verificare se è continua in
e se esistono le derivate parziali prime in quel punto.
Per la continuità, credo non lo sia, ho pensato che:
La seconda quantità dovrebbe tendere a
quindi per il 3° teorema del confronto il limite di partenza diverge.
scusa la curiosità ma la seconda equazione è minore della prima o sbaglio??perchè hai messo chè è maggiore dell'iniziale???
«
Last Edit: 09-07-2010, 13:32:17 by thedog
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cock86
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Re:Funzione a due variabili
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Reply #2 on:
09-07-2010, 12:42:08 »
Quote from: thedog on 09-07-2010, 12:18:26
suca la curiosità ma la seconda equazione è minore della prima o sbaglio??perchè hai messo chè è maggiore dell'iniziale???
che parole sono ? ahah correggi...
Però ha ragione.
potremmo scrivere:
il secondo membro tende a 0 quindi per il primo teorema del confronto tende a 0 anche il primo membro, e la funzione sarebbe continua.
attenzione! (senza il valore assoluto la disuguaglianza sarebbe sbagliata)
Però questo mi servirebbe come dimostrazione.
Mi viene la restrizione x=y indeterminata come 0 (-inf) e non riesco a risolverla. Se riesco a provare che essa faccia 0 allora è continua.
Per quanto riguarda la derivabilità, devi calcolare il limite che tu hai scritto, se esiste ed è finito allora è derivabile parzialmente.
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Un "buon informatico" trova una soluzione ad ogni tipo di problema. Un "ottimo informatico" trova la soluzione più efficiente ad ogni tipo di problema! Non stancatevi di migliorare la vostra soluzione!
thedog
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Re:Funzione a due variabili
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Reply #3 on:
09-07-2010, 13:39:13 »
ops che gaff cmq coretto... cmq ho io ho provato con le coordinate polari e mi viene in forma indeterminata 0 *-inf ,
ma se consideri
se nn erro per il teorema del confronto se la minorante è divergente anche la maggiorante è divergente quindi essendo che è diverso da 0 la funzione nn dovrebbe esser continua nel ponto(0,0)...
Spero di non aver detto eresie
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cock86
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Re:Funzione a due variabili
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Reply #4 on:
09-07-2010, 15:27:02 »
ma la minorante va a -inf. Quindi il confronto non vale...
Comunque con le restrizioni x=0, ed y=0, trovo facilmente che il limite sia zero. Poi trovo una maggiorazione di
|f(x,y)-0| che tenda a zero (ed è quella di prima) allora il limite della nostra funzione possiamo dire che è 0. Essendo il valore di f(0,0) dalla condiziona iniziale (l'hai dedotto tu o era il testo??) la funzione è continua.
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sanevir
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Re:Funzione a due variabili
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Reply #5 on:
09-07-2010, 16:24:18 »
Ho provato a risolvere il limite ma ho il dubbio che abbia inventato una nuova regola sui logaritmi, ecco il mio procedimento:
e quindi per x,y tendenti a 0 tende a 0 tutta la funzione.
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cock86
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Re:Funzione a due variabili
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Reply #6 on:
09-07-2010, 16:54:07 »
arguti i passaggi!!! ma non mi sembra ti porti lontano... non è ancora una forma indeterminata del tipo
? Oppure sono io che non vedo la soluzione?
Comunque il limite di una funzione a due variabili e l se per ogni restrizione vale l. Potete cercare il limite di una o più restrizioni (consigliate x=0,y=0,y=x,y=x^2), se sono diversi allora il limite non esiste, se già dopo due o tre vedete che sono uguali allora tentate di dimostrare che il limite è l. Cioè |f(x)-l| quindi provate a maggiorare questa con una funzione che notevolmente tenda a zero. Siccome è sicuramente maggiore di zero per il valore assoluto, e schiacciata a zero da una funzione maggiorante, anche essa tenderà a zero.
Ovviamente quest'ultima considerazione vale per l = 0.
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Last Edit: 09-07-2010, 16:56:30 by cock86
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sanevir
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Re:Funzione a due variabili
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Reply #7 on:
09-07-2010, 17:03:41 »
Diamine!!
non ricordavo che
fosse una forma indeterminata!!
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Daréios89
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La musica è la forma d'arte suprema.
Re:Funzione a due variabili
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Reply #8 on:
09-07-2010, 18:30:54 »
Quote
attenzione! (senza il valore assoluto la disuguaglianza sarebbe sbagliata)
Perchè?
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"Utilizzare sempre de l'Hôpital.....è come andare a caccia di farfalle con un bazooka".
cock86
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Re:Funzione a due variabili
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Reply #9 on:
09-07-2010, 21:20:57 »
perchè x potrebbe essere negativo. Quindi sarebbe una funzione più grande ma col segno meno davanti quindi più piccola.
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Daréios89
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La musica è la forma d'arte suprema.
Re:Funzione a due variabili
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Reply #10 on:
09-07-2010, 21:26:22 »
E invece non c'è bisogno di scrivere:
Tanto con o senza valore assoluto la funzione dovrebbe essere più piccola rispetto all'altra a destra, sia che la x sia positiva che negativa perchè vi è un logaritmo a moltiplicare e sarà sempre più piccola dell'altra.
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"Utilizzare sempre de l'Hôpital.....è come andare a caccia di farfalle con un bazooka".
cock86
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Re:Funzione a due variabili
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Reply #11 on:
10-07-2010, 09:58:00 »
abbiamo un PRODOTTO di tre fattori
e
sicuramente positivi, mentre
non abbiamo certezza sul segno, quindi potrebbe anche essere negativo. Allora il segno è determinato proprio da quest'ultimo.
Ti ricordo inoltre che: siano due espressioni A e B con A > B, allora -A < -B.
Se ancora non ti convince, se noi diciamo che 4*8*log 32 < 4*8*32 (160<1024) non possiamo di certo dire che -4*8*log 32 < -4*8*32 (-160<-1024). Ovviamente ho preso un espressione che somigliasse molto alla nostra per rendere meglio l'idea. Spero ti sia chiaro adesso.
Quel valore assoluto è fondamentale per poter scrivere quella diseguaglianza. Inoltre ti ricordo che noi dobbiamo verificare |f(x)-l| che è in valore assoluto, che quindi ci portiamo nelle espressioni interne che non sono sicuramente positive.
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Last Edit: 10-07-2010, 10:12:22 by cock86
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Daréios89
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Re:Funzione a due variabili
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Reply #12 on:
10-07-2010, 10:36:32 »
AAAh, ok ok, allora deve essere per forza così:
Se A e B sono tali che A>B e -A<-B allora è esatto, grazie mille.
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"Utilizzare sempre de l'Hôpital.....è come andare a caccia di farfalle con un bazooka".
cock86
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Re:Funzione a due variabili
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Reply #13 on:
10-07-2010, 10:57:43 »
Quote
Se A e B sono tali che A>B e -A<-B allora è esatto
Già... purtroppo per noi vale sempre.
ma non è poi così difficile!!!
Figurati è stato un piacere esserti d'aiuto. Ti dovevo pure un favore
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