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Author Topic: esercizio esame....  (Read 972 times)
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alex180788
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« on: 10-07-2010, 09:50:24 »

Senza calcolare l'integrale dire, giustificando la risposta se

integrale tra 1 e 2 di   |x log(x) | - x   

è positivo, negativo o nullo....   in base a cosa si puo' dire???  testate
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cock86
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« Reply #1 on: 10-07-2010, 10:10:47 »

in base alla proprietà della monotonia degli integrali definiti.

Proprietà monotonia:
Siano f,g: [a,b]--> R integrabili, e sia f(x)>g(x)
allora
\int_a^b f(x) dx>\int_a^b g(x) dx.

Quindi
per la proprietà della distributività possiamo scrivere:
\int_1^2 |x logx|- x dx= \int_1^2 |x logx| dx- \int_1^2 x dx;
inoltre (nell'intervallo [1,2])
x> |x logx| --> \int_1^2 x dx > \int_1^2 |x logx| dx
in conclusione:
\int_1^2 |x logx| dx < \int_1^2 x dx
\int_1^2 |x logx| dx- \int_1^2 x dx < 0
\int_1^2 |x logx|- x dx < 0.

Quindi è negativo.
« Last Edit: 10-07-2010, 16:08:08 by cock86 » Logged

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alex180788
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« Reply #2 on: 10-07-2010, 10:26:03 »

ti ringrazio è tutto chiaro!
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cock86
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« Reply #3 on: 10-07-2010, 10:58:10 »

è stato un piacere...
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denote
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« Reply #4 on: 10-07-2010, 15:53:57 »

... o più semplicemente:

Sia f una funzione definita in [a,b]
1) limitata in [a,b]
2) integrabile [a,b]
3) f non negativa in [a,b]

allora l'integrale definito è non negativo

| x log(x) | < x quindi la funzione è negativa e l'integrale è negativo

EDIT: ho dimenticato che | x log(x) | < x  in quell'intervallo (era ovvio però)
« Last Edit: 10-07-2010, 16:04:22 by denote » Logged

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